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高斯和雅可比在解析非线性最小二乘解方面的贡献
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有一种不为大家熟悉和关注的研究方向，即非线性最小二乘解的解析公式的存在性问题。近代代数似乎不住支持这方面的理论研究。这是因为即使一个一般的五次一元方程组，都不可能找到求根公式。
然而，在测量中，存在一类非线性问题，当不存在多余观测时，其恰定的非线性系统具有求根公式。例如，三个距离观测构成的测距方程，就存在求解公式，再如由四个伪距观测方程组成的伪距观测方程，同样存在求根公式。这可能是高斯和雅可比曾考虑基于这些求根公式确定平差解的初衷。
下面就以二维测距定位方程为例，介绍这种方法。设定位方程存在3个方程，则存在1个多余观测，因此我们通过两两组合，可以得到下面三个解：
x(1,2)
x(1,3)
x(2.3)
可以想象，由于观测误差的存在，这三个点将构成一个三角。高斯在日记中曾推测和初步推演，最小二乘点位解x'应该可以表示为
x‘=[p1*x(1,2) + p2*x(1,3) + p3*x(2,3)]/(p1+p2+p3)
其中，
p1=sin(a12)^2
p2=sin(a13)^2
p3=sin(a23)^2
a12，a13和a23分别是相应观测方向之间的夹角，例如a12即为第1个观测方向和第2个观测方向之间的夹角。
然而，高斯曾指出，这种方法可能并不严格，但是雅可比还是独立发展并发表。最新的研究可参考《Journal of Geodesy》2003年一篇关于矛盾测距方程显解的文章：Explicit solution of the overdetermined three-dimensional resection problem。
当然，上面的简单情形，很容易推广到一般情形。这一点也清晰的呈现出一个规律，复杂是简单的叠加和推广，这种不变的哲学思想。
注1：最小二乘解是所有可能组合解的加权平均
注2：组合解的权重取决于观测向量间夹角的大小，在三维空间中的推广就是三个观测方向形成的平行六面体的体积。n维空间直接使用行列式的概念即可推广。
事实上，高斯-雅可比的方法是否真正解析一个超定非线性方程组，仍无理论上的定论，我比较倾向于不存在解析公式。但通过数值测试，也只是一种近似公式，只是这种近似公式在很多情况下，具有很高的精度。
然而，在测量中，存在一类非线性问题，当不存在多余观测时，其恰定的非线性系统具有求根公式。例如，三个距离观测构成的测距方程，就存在求解公式，再如由四个伪距观测方程组成的伪距观测方程，同样存在求根公式。这可能是高斯和雅可比曾考虑基于这些求根公式确定平差解的初衷。
下面就以二维测距定位方程为例，介绍这种方法。设定位方程存在3个方程，则存在1个多余观测，因此我们通过两两组合，可以得到下面三个解：
x(1,2)
x(1,3)
x(2.3)
可以想象，由于观测误差的存在，这三个点将构成一个三角。高斯在日记中曾推测和初步推演，最小二乘点位解x'应该可以表示为
x‘=[p1*x(1,2) + p2*x(1,3) + p3*x(2,3)]/(p1+p2+p3)
其中，
p1=sin(a12)^2
p2=sin(a13)^2
p3=sin(a23)^2
a12，a13和a23分别是相应观测方向之间的夹角，例如a12即为第1个观测方向和第2个观测方向之间的夹角。
然而，高斯曾指出，这种方法可能并不严格，但是雅可比还是独立发展并发表。最新的研究可参考《Journal of Geodesy》2003年一篇关于矛盾测距方程显解的文章：Explicit solution of the overdetermined three-dimensional resection problem。
当然，上面的简单情形，很容易推广到一般情形。这一点也清晰的呈现出一个规律，复杂是简单的叠加和推广，这种不变的哲学思想。
注1：最小二乘解是所有可能组合解的加权平均
注2：组合解的权重取决于观测向量间夹角的大小，在三维空间中的推广就是三个观测方向形成的平行六面体的体积。n维空间直接使用行列式的概念即可推广。
事实上，高斯-雅可比的方法是否真正解析一个超定非线性方程组，仍无理论上的定论，我比较倾向于不存在解析公式。但通过数值测试，也只是一种近似公式，只是这种近似公式在很多情况下，具有很高的精度。
这种方法的一种改进，即顾及二次非线性改正的方法，可参考笔者的《Shuqiang XUE, Yuanxi YANG (2013). Gauss-Jacobi Combinatorial Adjustmentand Its Modification. Survey Review.》一文。
https://m.sciencenet.cn/blog-1260709-785227.html
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