从爱因斯坦的未竟梦想到量子力学曲率解释

吴新忠

                     上海交通大学人文学院科学史系（200240）

E-mail: sju@sina.com , wuxinzh@sjtu.edu.cn 

                   赵国求

华中科技大学──WISCO联合实验室  武汉(430080)

E-mail:zhao66@126.com  

[摘要] 物理学中的曲率概念，作为微分几何在物理学中的应用，老早就进入分析力学与电磁场论中，随着广义相对论中引入时空曲率描述引力现象，爱因斯坦还试图对引力场与电磁场作统一的几何描述，量子规范场论的发展进一步强化了物理学中曲率概念的价值。量子力学中的曲率思想，萌发于薛定谔方程的早期推导过程，突变论创始人勒内·托姆从微分拓扑学的角度主张熵与量子波函数可以作曲率解释。量子力学曲率解释对波函数作出曲率解释，进一步协调了相对论与量子论，形成了目前为止最接近薛定谔科学思想与爱因斯坦的物理学理想的一个新解释,这有助于我们突破量子力学现有的分析力学的代数框架，按照牛顿与爱因斯坦的思路，寻求量子力学的新的几何学表述,在包容量子概率解释的基础上强化了波函数的实在论解释与几何表示。

关键词：弯曲时空   量子曲率   非欧线元

[基金项目] 教育部人文社会科学研究青年项目“量子力学解释与科学实在论”（07JC720016），上海市哲学社会科学一般课题“天文学的文化哲学”（2007BZX004），武汉钢铁集团公司项目“相互作用实在论与量子力学曲率解释公理化体系研究”（07JC720016）。

 一. 爱因斯坦的未竟梦想

我们知道，牛顿与惠更斯在阐述加速度概念的几何表示时，引入了曲率的概念，一个匀速圆周运动的向心加速度自然与圆轨道的曲率成正比。在微分几何中，麦克斯韦方程也可以解释为某些称之为矢量场的几何对象的曲率方程。爱因斯坦在狭义相对论的闵可夫斯基4维时空表述中，无意中引入了弯曲的速度空间来体现相对论的速度相加公式；在广义相对论中求助于等效原理发现引力场具有非惯性运动带来的弯曲时空结构，利用黎曼几何直接把引力场处理成为弯曲时空，并试图在统一场论中把电磁场也处理成为代表引力场的时空度规以外的一些其他时空结构。但遗憾的是，爱因斯坦的统一场论得不到经验事实的支持，显然也没有类似于广义相对论从惯性质量与引力质量的等价性那里得到的那种支持。在1923-1949年间，爱因斯坦花费了很大精力，但在统一场论方面没有作出主要的成就。而在同一个时期，电磁学变成了一个完全狭义相对论性量子场论，没有为人所知的直接几何特征。后来的发展也证明了，弱相互作用与至少某些特定的强相互作用，看来也需要采用这种没有直接几何特征的相对论性量子场论来描述。自从20世纪70年代以来，量子场论的成功已经刺激了统一场论思想的复兴。但是，在复兴了的统一框架中，总体场与部分场之间的结构关系，以及不同部分场之间的结构关系，已被证明比爱因斯坦设想的时空度规的对称部分（对应于引力场）与反对称部分（对应于电磁场）的组合复杂得多。因而在内在严密性与连贯性方面，爱因斯坦的统一场论几乎不能被视为成熟的理论。

其实，在爱因斯坦提交广义相对论的最后版本的同时，希尔伯特在1915-1917年间，把米的物质的电磁场论与爱因斯坦的广义相对性综合起来，利用变分原理从米的世界函数出发，得到14个势的14个方程：这些方程中的10个包含着与引力势有关的变分而被称为引力方程，而另外4个与电磁势有关的变分给出了广义麦克斯韦方程。但是，希尔伯特既没有论及物理学的几何基础，也没有论及时空的几何结构。爱因斯坦理论在完全几何学意义上的第一个延伸是由外尔在1918年给出的，黎曼几何已经设想矢量在弯曲时空中平行移动时能够改变方向，而外尔进一步认为矢量的大小在移动时也会改变，从中推导出电磁场，并发现时空的仿射联络依赖于电磁势与引力势。但爱因斯坦发现，矢量移动导致的长度变化会带来光谱线波长的变化，与观测到的谱线的确定波长相矛盾。爱丁顿则认为，在借助广义相对论来超越欧几里得几何的过程中，爱因斯坦得到了引力；在借助于规范不变性原理来超越黎曼几何的过程中，外尔得到了电磁学；爱丁顿有了更伟大的构想，我们可以进一步推广世界的几何结构来得到非麦克斯韦的结合力，它能够与库伦排斥力相抗衡，从而把电子聚合在一起。虽然在外尔的可扩充规范不变性的原始思想出现不久就被放弃了，因为它的推断在新的量子力学语境中与观测相冲突，但外尔还是在1929年复兴了这个思想。这次，局域不变性是电磁学中量子相位的不变性。1927年，福克和伦敦发现，只要在外尔理论的尺度因子前加一个虚数因子(-i)，则外尔的理论就不再是“规范变换（尺度变换）”理论，而变成了“相因子变换”理论，并正确地描述了电磁场。在把外尔的成果应用到量子场论时，泡利曾在其颇有影响的评论（1941）中指出，整体相变下的理论不变性要求电荷守恒，而局域规范不变性与电磁相互作用有关。有三点是清楚的。第一，没有量子力学就不可能得到规范不变性的正确解释。第二，规范理论与广义相对论在理论结构上有很大程度的相似性，即一边是电磁场、局域相函数、电磁势和规范不变性，另一边是引力场、局域切矢量、仿射联络和广义协变性。第三，正如迈克·弗里德曼（1983）已经指出的，不变性的概念不同于协变性的概念。如果某些几何对象在群的作用下是不变的，那么这个理论在变换群下就是不变的；如果在变换群的作用下理论中方程的形式是不变的，那么这个理论就是协变的。考虑到这个细微的差别，规范不变性的概念在许多情况下实际上都是指规范协变性。在规范理论中，规范势扮演的角色，类似于广义相对论中的引力势。引力势是与切丛中的线性联络相关，体现的是时空底流形的曲率；规范势是与主纤维丛的联络相关，规范场强相当于纤维丛的曲率 [1,p6-8]。

                   二.量子力学曲率解释

当规范场论间接地显示曲率与量子力学的关系的时候，我们发现量子力学中的曲率概念，早在1926年薛定谔的经典文献《作为本征值问题的量子化》中就已经萌芽。在《关于波动力学的第三次演讲》中，薛定谔认为，作为波动力学的经典出发点的哈密顿-莫培督原理，在定义广义坐标q空间的线元的时候，引入了Heinrich Hertz所应用的广义非欧几何，即ds2=2T(qk ,dqk /dt)dt2   [2,p43]。而最后得到的波动方程（或者比较恰当地说，是振幅方程）是▽2ψ +8π2 (E-V)ψ/h2=0, 其中▽2既不能理解为三维空间中的初等拉普拉斯算符，也不能理解为多维欧几里得空间中的初等拉普拉斯算符（就是关于坐标的二阶导数之和），而应该把它理解为拉普拉斯算符在广义非欧几何的q空间的线元下的推广[2,p21-22]。在此约定之后，诸如两个线元之间的角度，正交性，矢量的散度和旋度，标量的梯度，标量的拉普拉斯运算及其他概念都可以如在三维空间的欧氏空间中一样简单地运用：所有q空间中的几何表述，都取广义非欧几何线元的意义[2,p43]。爱因斯坦为此感到振奋，在1927年4-5月左右给玻恩的便条中，他希望通过整合波动与粒子概念的模型来回归决定论。爱因斯坦还在题为“薛定谔的波动力学是决定一个系统的运动抑或只是统计意义上有效？”的论文中，用薛定谔方程的任一解得到动能的一个表述，来定义单个粒子的速度分量dq/dt, 卡辛（J.T.Cushing）在1994年由芝加哥大学出版社出版的《量子力学：历史性机遇与哥本哈根霸权》中，详细描述了爱因斯坦是如何使用位形空间中的非欧度规，以波函数ψ的术语来得出广义速度dq/dt的唯一值[3,p89 ]。

薛定谔认为，几何光学仅仅是光的粗略近似，而要沿着波动理论的路线，在q空间中光学的进一步发展中保持这种类似，我们就必须小心不明显地偏离几何光学的界限，即选择波长足够的小，与所有路径的尺度相比很小。或许我们的经典力学完全类似于几何光学，因而是错误的，与实在不符；一旦曲率半径和路径的尺度比之于某个被赋予q空间的实在意义的波长不再很大时，它就失效了。这样，问题就成为寻求一种波动力学，而最明显的方式，就是从哈密顿相似出发，沿着波动光学的路线去求解[2,p45-46]。

正如薛定谔关于ψψ*代表权重函数的萌芽思想被玻恩发展成为量子力学几率解释一样，法国数学家Rene Thom在《结构稳定性与形态发生学》，《突变论：思想与应用》等论著中发挥了薛定谔关于波函数的曲率解释萌芽，并提出了热力学熵的曲率解释；以中国学者赵国求为代表的等学者更是在《运动与场》，《物理学的新神曲》，《物理学与哲学之间》，《从相互作用实在到量子力学曲率解释》等论著中，全面系统地阐述了量子力学曲率解释，通过与其他解释的对比，我们发现这是目前为止最与相对论相协调的量子力学解释，最接近薛定谔的科学思想与爱因斯坦的物理学理想。

托姆认为,由归一化条件 可定义Hilbert空间的超曲面上有一泛函,它在无外势时简化为映射图形的总曲率;薛定谔方程的定态形式 存在一个递增函数，它取决于量子系统的几何特征。量子系统的本征能量越大,本征函数的拓扑复杂性就越大,即相当于图形的总曲率越大。本征能谱E相应于具有结构稳定性的本征波函数的谱，频率体现图形的拓扑类型或局部曲率的变化率[4,p157-158]。

在德布罗意物质波理论中，粒子是一个波动实体。为了揭示波函数如何描述这个波动实体，从波函数本质上反映微观粒子自身时空特征的指导思想出发，赵国求提出了曲率波理论。他从爱因斯坦及德布罗意的两个基本公式

P=h/λ ,  E = hν                  

出发定义了量子曲率。方程的左边P和E是微观量子客体作为质点所承载的动量和能量，对于具有能量E、动量P的微观量子客体，一般采用能量的测不准量△E＝E，动量的测不准量△P＝P，对上述方程作如下变形：

Pλ= h →Pλ/2π = ħ→P r= ħ→△P△x= ħ

E= hν→E/ν = h → E T= h→△E△t= h

上述演算中，因为r＝λ/2π，若视λ为圆周，则r为此圆的半径。波长有空间概念，则r为微观量子客体“建构”了一个可认知的“空间形态”。若定义R＝1/r为微观量子客体的量子曲率，则量子曲率：

R＝△P/ħ＝P/ħ                    

微观量子客体的动量定义了它的量子曲率。量子曲率是量子客体自身空间几何形态弯曲的量度，曲率的大小表现微观量子客体的粒子性，曲率及其相位的变化则可体现波动性。可以证明，量子力学中所有物质波波函数ψ的振幅及其相位中均可分离出量子曲率R , 量子曲率R是对物质波ψ振幅的抽象，∣ψ∣2有明显的几何意义[5,p439-449] 。物质波呈现“有形量子”自身空间结构的波动存在形态。

量子曲率R＝P/ħ，物理学把它定义为波矢或波数（1/λ），我们认为其物理意义挖掘不够，尤其是波数，物理意义甚微。将R定义为量子曲率可让量子力学的天门洞开，解决一系列的量子佯谬与概念疑难。

1/ν＝T，ν是德布罗意-薛定谔波的频率，T是此波的周期。如果我们取△E＝E，E是微观量子的能量，那么，T也就是产生“微观量子”能量E的积累周期，它是过程量。一个微观量子客体自身的形成是连续过程，构成连续物质波场，但原子中能量En和动量P n并不连续，能级之间是突变断裂的。这正好对应本征态ψ n自身的连续性和态与态之间的突变性。当态与态之间动量、能量的突变性消失时，态之间相互作用的突变性消失。量子态也由∑求和演变成∫求和。

现在我们得到一个以量子曲率R为模，描述微观量子客体自身“非点粒子”空间结构特征，周期变化着的、复平面上曲率R的“旋转振子”。当微观量子在时空中运动时，“旋转振子”在实、虚轴上的投影振动，伴随相位的变化，形成运动方向上的波动叠加，这就是我们所称的曲率波。曲率波是物质波的具体物理呈现，它就是大家熟悉的德布罗意-薛定谔波。

ψ= Rexp[－（i/ħ ）(P x－E t)]              

ψ总是与微观量子客体联系在一起的，上式是德布罗意物质波实函数的复数变形，与玻姆单粒子物质波的形式一致，但赋予了ψ明确的物理意义──曲率波。曲率的大小表示粒子性，粒子运动中曲率R在复平面上的旋转振动及运动中波动相位的变化，演示波动性。

氢原子中，由德布罗意公式Pn入n=h，每个能级n由徳布罗意波波长入n定义了一个与电子对应的量子曲率Rn，我们称其为基准曲率。rn =na0 （a0—玻尔半径）为基准曲率半径，Rn及其相位的变化给出了电子在氢原子中每个能级上的基本波动形象。必须指出，量子曲率与电子轨道半径(n2a0)的1/n成反比，量子曲率代表电子自身‘构形’的曲率，不是电子轨道的曲率（n=1除外）。量子曲率也不能混同于原子核作用于电子的电磁场的规范场强曲率，后者与电子轨道上某点绕原子核旋转而成的球面高斯曲率成正比，体现电磁场强度与距离的平方反比关系。量子曲率代表着弥漫于空间中的电子云的量子形变力，体现广义坐标q空间的非欧特征，量子力学的表象变换类似于q空间曲面上的曲线坐标变换。当戴维·玻姆用不适当的质点模型引入量子势来解释量子现象时，量子曲率所代表的电子云的量子自组织力，就被量子体系中来源不明的整体相关的量子势概念取代了。由于量子势要用波函数来定义，波函数中的曲率因子使得量子势本质上是量子波包发生形变的曲率势。

氢原子径向波函数的振幅中可以分离出曲率因子Rn表明，波函数|ψ|2有明显的几何意义。非但如此，量子力学中所有波函数振幅中都可分离出曲率因子，因此量子力学曲率解释是普遍适用的[5,p39-40，p439-449]。范弗拉森也发现，如果态矢量由两个正交矢量（X，Y）表征，则在态W中作一个X测量产生值x，x在集合（x,y）中的概率即为P，那么P=x2 /（x2 +y2）=x2 /r2 ，而R=1/r为单位圆的‘几何曲率’。范弗拉森也试图把单位圆的‘几何曲率’与概率搭上联系 [6,p162]，但范弗拉森的‘几何曲率’与量子力学曲率解释的‘量子曲率’物理意义完全不同。

彭罗斯在《通向实在之路》中指出，在二态系统的投影空间PH2黎曼球面上，即量子信息的布洛赫球面（曲率为R’=1/r2的态矢量黎曼球面归一化为半径是1/2的量子信息球面）上，假定二态系统的初态由黎曼球面上B点表示，我们对球面上另一个点A作YES/NO测量，其中YES表示系统处于点A, NO表示处于A的对径点A’。如果黎曼球面的半径为1/2，球面上B点在直径AA’上的垂直投影为C点，我们发现，YES的概率为长A’C=(1+cosθ)/2, NO的概率为长CA=(1-cosθ)/2, 其中θ是半径OB与OA的夹角[7,p399-400]。彭罗斯在量子信息的布洛赫球面上讨论与测量有关的量子概率，其实已经揭露了量子概率与量子曲率的正相关关系，因为如果A’是A的对径点，那么Yes的概率就是长A’B除以球面直径AA’。在量子信息论中，两个单量子比特状态之间的距离等于布洛赫球面上它们之间普通欧几里得距离的一半[8,p52]。

             三. 量子力学曲率解释的发展前景

量子力学曲率解释的进一步发展，迫切要求我们回归到薛定谔与爱因斯坦用广义坐标的非欧线元表示波函数以及广义速度的思路上，采用微分几何精确严密地表达托姆提示，并由赵国求大力倡导的量子曲率。量子力学曲率解释，在回归爱因斯坦的实在论与决定论的物理理想上迈出了一大步，采用光速传播的康普顿物质波（康普顿波长λ=h/mc,而波动频率ν=mc2/h与德布罗意相位波频率一致）的物理机制来重新理解相速超光速的薛定谔波，为理解量子非定域关联提供了新思路，并避免了德布罗意相位波概念面临的运动粒子所伴随的内部时钟频率降低而量子波动的频率反而升高的佯谬[5,p427-431]。量子曲率在态矢量层面上与复数的黎曼球即量子信息的布洛赫球面有关。在量子力学曲率解释研究中延伸出来的相互作用实在论哲学，使得我们认识到观察信号的物理性质对于我们对客体进行时空度量，形成坐标系的时空度规特征具有重要意义，而与作用量子有关的非连续作用与经典的连续作用在物理层面上的区分，对于我们重新理解量子测量过程中的物理机制与哲学解释具有重要的启发意义。当然，由于量子力学曲率解释更多地追随爱因斯坦，德布罗意与薛定谔的波动力学路线，这一新解释自然也面临波动力学的哲学解释曾经面对的一些困难，最重要的当然是多粒子体系的量子曲率表述以及相伴随的量子非定域性，量子纠缠等问题。这些问题不仅是量子力学发展史上爱因斯坦与薛定谔通过EPR论证与薛定谔猫等思想实验与哥本哈根学派交锋的重要前沿，而且也是爱因斯坦与薛定谔没有深入发展位形空间中的非欧线元概念，最终找到类似量子力学曲率解释的新量子力学表述的困难所在。

就在爱因斯坦利用位形空间中的非欧线元作为隐变量，试图对量子力学波函数做出广义速度的决定论表述的时候，不巧的是玻特（Walther Bothe）指出了一个问题。玻特认为，当人们考虑一个由两个子系统组成的体系，它们可能在空间上分离，整个系统的波函数ψ，可以分解为两个独立子系统的波函数的简单乘积ψ1 ψ2 ；但是，从两个子系统中得到的隐变量是互相依赖的，爱因斯坦认为这不可接受，结果导致他没有发表“薛定谔的波动力学是决定一个系统的运动抑或只是统计意义上有效？”的论文。其实，玻特指出的问题似乎与量子纠缠类似，这在后来的EPR佯谬的讨论与贝尔关于量子非定域性的不等式中，以及量子信息论的研究中扮演核心的角色。贺兰德（Peter Holland）对爱因斯坦的这篇论文详细分析后表明，爱因斯坦所拒绝的分离隐变量的依赖性，有可能通过适当修改爱因斯坦的非欧线元理论而得以避免，我们可以在别的基础上接受这种特定类型的理论而限制其应用范围。贺兰德也论证了有可能存在别的轨道理论，在多体波函数中粒子运动呈现出相互依赖性的时候，与量子力学的预测一致。

赵国求对于量子态的纠缠，提出了一种新的理解。他认为，量子态的纠缠，几率解释中是几率的纠缠，或者叫几率幅的纠缠；曲率解释中包含有微观客体“空间形态”的纠缠；由爱因斯坦的“相互作用”带来的纠缠,只是提供一个宏、微观的转换机制。认清微观作用机制与宏观作用机制的本质区别之后，量子力学曲率解释为消除薛定谔猫和EPR悖论提供了新的认识进路,并可作出较为详细的定量分析。他认为，在原子世界，能量的接收和释放是一份一份的，不连续的，因而相互作用在能级之间的体现是不连续的。能级间的突变性，为独立的相干波源,波函数的正交性和线性叠加特征提供了物理基础。处在微观世界的原子，其波函数符合量子曲率的演化规律，具有相干性，既衰变又不衰变的叠加态|ψ原子＞=α|↑＞+β|↓＞  是方程的解。而在宏观世界，如实验中的锤子、瓶子、猫等，能量的变化均是连续的，没有能级跃迁的概念，相互作用在能级之间的体现是连续的.锤的“动”与“不动”，玻璃瓶的“好”与“破”，猫的“死”与“活”都不存在突变。自身的连续作用，亦或环境的影响，独立的相干波源消失,也使宏观客体在自纠缠中，能自动退相干，自动完成量子测量，实现量子波动形态向宏观点粒子形态的转化。这就是宏观物体的退相干机制。

对EPR佯谬的理解，实际上涉及到对量子力学中纠缠态的理解。按纠缠态的定义，它是二粒子体系本征态的直积形式的线性叠加。数学形式上是二粒子的“态”,通过直积的叠加彼此关联，形成一个整体。按正统量子力学的解释，波函数是概率波，因此它的纠缠是概率（数学）的纠缠。在量子力学曲率解释中，波函数是曲率波，描述微观客体“形”的变化规律，因此，它的纠缠是“形”的纠缠。更本质地说是“曲率”的纠缠, 是空间的纠缠。两个粒子不管远离还是不远离，空间的纠缠总把它们维持为一个整体。空间是物质存在的表现形式。因此，量子力学曲率解释在贯彻爱因斯坦的实在论与决定论的哲学立场方面迈出了可喜的一步，在处理量子纠缠等问题上没有陷入爱因斯坦的定域性教条，可望与量子纠缠、量子通信等研究中显示的非定域性进行更多的沟通与妥协。我们也期望在量子力学曲率解释的未来探索中，一方面给出量子曲率的更严密的几何化的数学表述，另一方面按照相互作用实在论的哲学立场，借助于对量子纠缠，量子退相干等问题的深入研究，对量子非定域性现象作出更接近爱因斯坦的定域实在论理想的新物理解释。其中，康普顿物质波与其他量子波动之间关系的物理机制研究，量子相位与规范变换的深入研究，对于实现这个爱因斯坦的未竟梦想可能是最重要的一环。

[参考文献]

1.  桂起权 高策 等：《规范场论的哲学探究》，科学出版社，2008年5月第1版。

2.  薛定谔：《薛定谔讲演录》，胡新和 范岱年 译，北京大学出版社，2007年10月第1版。

3.  Dipankar Home , Andrew Whitaker: Einstein’s Struggles with Quantum Theory, 2007 Springer Science+Business Media,LLC.

4.  雷内·托姆（Rene Thom）：《结构稳定性与形态发生学》，四川教育出版社，1992年9月第1版。

5.  赵国求：《从相互作用实在到量子力学曲率解释》，武汉出版社，2008年11月第1版。

6.  万小龙：《范弗拉森的量子力学哲学研究》，中山大学出版社，2006年1月第1版。

7.  罗杰·彭罗斯：《通向实在之路》，王文浩 译，湖南科学技术出版社，2008年6月第1版。

8. Michael A.Nielsen, Isaac L.Chuang:《量子计算和量子信息（二）》，郑大钟 赵大千 译，清华大学出版社，2005年2月第1版。