在我们农村老家，有一种用来碾麦子水稻的工具，即石滚。

上图是我家的石滚。注意到没有？其呈圆锥状，一头大一头小。这样设计的目的是，当牛拉动这个滚的时候，它会走出一个封闭的圆。看下图，这位大伯把麦子铺成环状。所以，这个滚的运动是非常简单的，在理想的情况下，它被限制在一个圆上运动。所以这是一个可积的系统(一个初中习题：请计算滚走过的圆的半径)。

现在我们村里的人也都有钱了，私家车有不下十辆。在观察别人停车卡位的时候，也许你应该感到惊奇，无论多么狭小的空间，都是可能把车倒进去的。对比前面的石滚，这点尤其神奇。

确实，这背后有深刻的微分几何。

类比倒车，设想这样一个情况。在三维空间里任意取两点A和B，假设你需要从A到B。如果完全没有约束的话，在空间任何一点，你可以沿某三个方向走。因为一般而言三个方向可以完全张开一个三维空间，所以这样就等于没有约束了，也即在空间任何一点你可以沿着任意方向走。在这种情况下，从A走到B自然是没有问题。现在假设存在这样的约束，即在空间任何一点，你只能沿某两个方向走，这两个方向连续地依赖于空间这点。因为两个方向可以张开一个平面，所以实际上也就是说，在空间任何一点，你被限制在某个平面上移动，这个平面随空间这点连续变化。问题是，你是否还可以从A走到B？

一种可能是，不行。原因是类似于石滚被限制在一个一维的曲面（即一个圆）上，你很不幸地被限制在某个二维的曲面上。无论你采取什么策略，你始终离不开这个二维的曲面，曲面之外的点可望不可及。这种缺乏自由的情况恰恰是物理学家最喜欢的情况，物理学家称这种情况为可积。

另外一种可能是，行。这个时候你便可以发挥你的聪明才智，设计出一个策略达到B。是的，局部而言，你是被限制在一个二维平面上，你没有三维的自由度，但是，通过某种迂回的方式，你是可以获得三维自由度的。这种情况为不可积。

拿停车来说，一个汽车在地面上有三个自由度，其质心位置有两个自由度，此外其取向有一个自由度，所以描述一个汽车的状态的空间是三维的。对于想停车的司机而言，在汽车所在的任何一个状态，他有两个选择，进退或者转动方向盘。所以，在三维状态空间的任何一点，汽车只可以沿两个方向走。但是如何获得第三个方向的自由呢？这点不需要懂微分几何，每一个司机都会用。无非迂回反复，前进，转向，倒退，反向，前进，转向，倒退，反向。这里大家共有的起到关键作用的直觉是，进退与转向如果按照不同的次序做，会导致不同的结果。按照数学或者物理的术语，这叫不对易。所以，这种迂回操作的结果是，我们能够获得往第三个方向走的可能。于是，我们获得了从任意始发点A到达任意终点B的可能。

所以，生活中各种神一般的停车告诉我们，汽车这个系统是个不可积的系统。

车可以从任意状态到任意状态，所以车是不可积系统。反之，如果你发现某个系统存在不能从任意状态到任意状态的情况，那么你一定要有一颗有准备的心------这个系统存在某种可积性！希腊人caratheodory在大概一百年前就利用这个简单的道理对热力学做出了革命性的诠释。按照热力学第二定律的开尔文或者汤姆逊表述，存在很多不受能量限制但是不能从某个初态达到的末态，所以这意味着一个热力学系统的可积性！caratheodory由此视角出发，提出了公理化的热力学，从理论上证明熵函数和温度函数的存在。