伯努利多项式是一种正交多项式，其生成函数为(王竹溪，郭敦仁《特殊函数概论》)
begin{equation}
frac{te^{xt}}{e^t-1}=sum^{infty}_{n=0}frac{t^n}{n!}varphi_n(x)
end{equation}

       对$\frac{t}{e^t-1}$和$e^{xt}$分别进行展开，再和生成函数公式中的同幂次项进行比较可以得到$\varphi_n(x)$的明显表达式
begin{equation}
varphi_n(x)=sum^n_{k=0}
left(
begin{array}{c}
n\
k\
end{array}
right)
varphi_k x^{n-k}
end{equation}

       $\varphi_k$的递推公式
begin{equation}
varphi_0=1, sum^{n-1}_{k=0}frac{1}{k!(n-k)!}varphi_k=0
end{equation}
可以由生成函数得到。

       使用生成函数也可以直接证明互余宗量定理
begin{equation}
varphi_n(1-x)=(-)^nvarphi_n(x)
end{equation}
和加法公式
begin{equation}
varphi_n(x+y)=sum^n_{k=0}
left(
begin{array}{c}
n\
k\
end{array}
right)
varphi_k(x)y^{n-k}
end{equation}

        伯努利多项式的另一个吸引人的性质是加法公式
begin{equation}
varphi_n(mx)=m^{n-1}sum^{m-1}_{r=0}varphi_nleft(x+frac{r}{m}right)
end{equation}


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