仔细观察可以发现下面的式子是恒等式
begin{equation}
frac{{rm d}}{{rm d}t}sum^{n}_{m=1}(-)^m (z-a)^mvarphi^{(n-m)}(t)f^{(m)}[a+(z-a)t]=(z-a)varphi^{(n)}(t)f'[a+(z-a)t]+(-)^n(z-a)^{n+1}varphi(t)f^{(n+1)}[a+(z-a)t]
end{equation}
对于$\varphi(t)$是$t$的$n$次多项式的情况，式子两边乘以${\rm d}t$，从0到1积分，注意到$\varphi^{(n)}(t)=\varphi^{(n)}(0)$可以得到达布（Darboux）公式
begin{equation}
varphi^{(n)}(0){f(z)-f(a)}=sum^{n}_{m=1}(-)^{m-1} (z-a)^m{varphi^{(n-m)}(1)f^{(m)}(z)-varphi^{(0)}(t)f^{(m)}(a)}+(-)^n(z-a)^{n+1}int^1_0varphi(t)f^{(n+1)}[a+(z-a)t]{rm d}t
end{equation}

      若$\varphi(t)$是伯努利多项式$\varphi_n(t)$，将$n$换为$2n$。令$F(x)=f'(x)$，$z-a=h$，可以得到
begin{equation}
int^{a+h}_aF(x){rm d}x=frac{h}{2}[F(a+h)+F(a)]+sum^{n}_{k=1}frac{(-)^k h^{2k} B_k}{(2k)!}[F^{(2k-1)}(a+h)-F^{(2k-1)}(a)]+frac{h^{2n+1}}{(2n)!}int^1_0varphi_{2n}(t)F^{(2n)}(a+ht){rm d}t.
end{equation}

      将$a$换为$a+h$，$a+2h$,...$a+(m-1)h$，将结果相加，得到欧勒公式
begin{equation}
int^{a+mh}_aF(x){rm d}x=hleft{frac{F(a)}{2}+F(a+h)+...+F[a+(m-1)h]+frac{F(a+mh)}{2}right}+sum^{n}_{k=1}frac{(-)^k h^{2k} B_k}{(2k)!}[F^{(2k-1)}(a+mh)-F^{(2k-1)}(a)]+frac{h^{2n+1}}{(2n)!}int^1_0varphi_{2n}(t)sum^{m-1}_{s=0}F^{(2n)}(a+hs+ht){rm d}t.
end{equation}


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