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从千奇百怪的相变现象说起——于渌院士讲座
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从最简单的事情说起，从一滴水说起，这是日常生活大家非常熟悉的事情，水是大家最熟悉的事情。一滴水有多少分子很容易算的出来，两毫米直径的水分子，算一下它的体积，乘上加长，除上18，差不多是10的20次方分子。这么一滴水里面有非常多的学问，当然从日常生活当中大家都有经验，烧开水的时候，在现在的气压下烧一百度开了，有蒸气，蒸气到上面以后形成彩盈。同样一滴水在摄氏零度的时候结成冰，冰的晶体是非常非常漂亮的，这是从网上找到的，有一本书，是由一千多张冰的晶体的照片。平常大家不太容易看到，如果到春天的时候，冰化了以后再结晶，那个晶体就是非常非常漂亮的，拿显微镜看是这样的。我为什么讲这个事情呢？这么简单的事情里孕育着一个问题，仔细想想，为什么10的23次方的水分子，单个的水分子结构不变，相互作用也不变，为什么这么巨量的分子，会不约而同的从一个相变到另外一个相。新的相在老的相当中如何孕育、如何形成的？大家如果没想过的话，我建议这是一个值得想的问题。不要说10的23次方，就是100个人如果有秩序的从一个门走出去，需要大家自觉的遵守纪律才行。挤公共汽车，20多个人，脑袋都快挤破了。为什么10的23次方分子，可以那么具体的、不约而同的、很默契的做这件事情？不知道大家同意不同意，这是一个值得思考的问题。
水是非常复杂的。冰和水的相图，如果把中间的最小块放大，冰的不同的相，三维的图，相当于气体的状态，这是液体的状态即使我们最熟悉的物质——水和冰，有非常非常复杂的东西值得研究。这个相图里有些部分还不是非常确定。
最简单的事情是气体，所谓理想的气体，气体的分子比较稀薄，互相之间没有相互作用。有一个体积和压力的相图剖线。气体的压力和温度的相图，这不是普通的气体。气体有一个理想气体的状态方程，压力乘上体积，等于n乘上R，R是气体常数，等于NaK，1.38乘上10的负23次方焦耳/度。这是理想的气体。
实际的气体不是这样的方程，实际的气体方程，19世纪一个著名的荷兰物理学家，叫范德瓦耳斯，他在1873年做的报告里提出一个范德瓦耳斯方程，叫现实气体方程，方程很简单，考虑了两件简单的，V减掉NaB，把分子的体积排除掉，有一个内压力，是负的，在比较远的地方有一个吸引力，相当于负的压力，把这两个考虑修正以后，就是这个相图，实际上和相当多的气体相当符合，是现实气体。
临界点，相图的曲线，温度和压力曲线，现在做一件事情，这边是液体，这边是气体，从液体加温，到了相面的线上，加热以后温度不继续升，这时有一个挥发的热量，问一个问题，这个相面线究竟到什么地方结束呢？是无止境的走下去还是怎么样？结果是19世纪的时候，英国的物理学家安德鲁斯说不会的，这个线会在一个点上嘎然而止，突然停住了，这个点本身起了一个名字，当时做实验是用二氧化碳做的，在31摄氏度附近的时候，液体和气体的密度差消失了，所以这个点就叫临界点。看起来是孤孤凌凌的一个点，这个点本身非常重要，是我们今天要讨论的重点。这个点是什么意思呢？有了这个点以后，液体和气体的差别是相对的，不是非常绝对的。这么看是液体的状态，可以让体系绕过来，就绕到气体的状态，有这么一个临界点的存在。
临界点有非常妙的现象，有所谓的临界乳光，这个实验是怎么做的呢？就是找一个封着的试管，让密度正好处在临界的状态，打一个激光束打在上面，就发现有一个量子，在成像的地方发现非常非常复杂的花纹，反映的是什么呢？在临界点的时候，有点比水开锅沸腾的时候还要更折腾，这就是临界乳光现象。这是实验物理学家送给我的照片，不太清楚，说明了临界乳光的现象，这个现象是怎么回事呢？封了一个瓶子，这个瓶子是二氧化碳，基本上处在临界密度，这里放了三个球，三个球的密度，一个正好是临界密度，一个比临界密度稍稍高一点点，一个比临界密度稍稍低一点点，当温度高于临界温度的时候，是气体的状态，球处在三个不同位置。把温度稍微降一点以后，但还没有降到临界温度的时候，就发现中间的球掉下来了，还没有到临界点的时候就掉下来了。再降的时候就已经降到临界点以下了，这时就出现了气体和液体的分界面，上面的球也掉下来了。再降低温度以后，底下的球，因为液体的密度更高，球的密度只是比临界点的密度稍微高一点点，所以三个球都浮上来了。为什么在临界点上面一点点的球掉下来了？就是因为折腾的很厉害，用物理的话讲涨落非常厉害，所以在那里待不住了，这是非常偶然的原因掉下来了。
再举一个例子，是铁磁相变，这是老祖宗最早用的，用于指南针，这是一个铁瓷器，为什么能指南？就是在地磁场当中有指定的指向，但是我们原来并不知道，那块磁铁如果烧一烧，把温度弄的很高以后就不能吸铁了，这件事情其实在19世纪才发现的，如果画一个卡通图，有一些小铁磁，在转变温度以下都排好了，到转变温度以后就不排了。看这个相图，温度和磁场，铁磁体，叫居里点，是老居里自己发现的。一个磁铁有一个自发的强化强度，和温度有关系，放在外磁场里可以看出磁化强度和磁场的关系。如果在转变温度以下，居里温度以下就走这条线，如果在转变温度以上就没有磁性了，就走这条线了。
不光有铁磁体，除了铁磁体，小的陀螺是这么排列的，看一看这两件事情，气体和液体的临界点和铁磁的相变本身是非常像的，我故意把它画出来。20世纪初，人们意识到这两件事情实际上是一回事。还有更多更多的相变，手机的彩屏用的就是液晶显示，笔记本电脑也是液晶显示。液晶分子本身大体有两类，一类是棒状的，一类是圆盘状的，非常漂亮的是所谓向列型的液晶表面的照片。向列型的液晶示意图，基本上是棒子液晶，液晶是介乎于液体和晶体之间，顾名思义，位置是无序的，但是方向有一定的序，指向磁，虽然有一点弯弯曲曲的，但基本上的取向是往上，叫做所谓向列型的液晶。胆甾型的液晶，就是手机和计算机屏幕上用的。有一个选择的方向，是转的，叫胆甾型液晶。近晶型液晶，顾名思义，跟晶体非常近，位置有时是一层一层的，在每一层内部位置还是无序的，不是排好的，但是层和层之间是这样的，是垂直的排法，还有斜着的排法。
现在讲的还是比较典型的相变的例子。现在还在讨论一些系统，粒子本身的运动规律已经不能够用平常我们熟悉的经典的牛顿力学描述，这就是所谓的量子现象。当粒子变得非常非常小以后，粒子的运动规律已经跟牛顿力学不一样，牛顿力学的粒子是可以认的，眼睛可以盯着粒子，看着粒子怎么走。到了微观的粒子以后，粒子和粒子是不能区分的。不能区分的粒子分两种，一种是所谓的费米子，每一个状态里最多只能容纳一个粒子。另外一种叫做所谓玻色粒子，每一个状态里可以容纳很多很多粒子。现在纪念爱因斯坦发表论文的一百周年。我讲一讲爱因斯坦和Bose的故事，这个故事发生在1924年，玻色是出生在原来的印度，现在属于孟加拉的城市，当时是非常年轻的达卡大学的讲师。1924年已经是量子论开始建立一段时间了，她写了一篇文章投到英国的杂志，杂志叫做《哲学》杂志，把六页的文章寄给了爱因斯坦，这个文章说的是什么呢？如果假定光也是粒子的话，就可以推导出来普朗克的辐射定律。爱因斯坦是大家，对年轻人非常非常体恤，爱因斯坦一下意识到重要性，自己翻成了德文发表了，当时玻色想的是把光子是没有质量的，爱因斯坦把它推广到是有一个有质量的粒子，如果是有质量的玻色子，就会出现一个现象，叫做玻色－爱因斯坦凝聚。
玻色没有留过学，就是自己土生土长出来的，但是学习成绩一直非常优秀，百分制，他得了110分，太优了。后来他成名以后，虽然他做了这么多重要的工作，在印度还是不能得到承认，只是一个副教授。后来实在没有办法，又给爱因斯坦写了一封信，能不能给我写推荐信，帮助我提升一下，爱因斯坦非常惊讶，说你做了这么重要的事情，还不是教授，所以爱因斯坦真的给他写了推荐信，后来被提升成教授。他这个人非常专心做学问，有点风趣的笑话，大的物理学家尼士波去达卡大学讲演，玻色是主持人，坐在那儿听，著名科学家挂黑板了，推不出来，玻色教授你能不能帮帮忙，那时大家发现他的眼睛是闭着的，突然站起来了，在黑板上写，把这个问题解决了，等解决完了以后，他又坐回自己的座位半眯着，这当然是他个人的习惯，但说明他基本上是自学成才的，在这样的环境下还是可以做出非常有创意的工作。
这就是玻色－爱因斯坦凝聚，通常气体凝聚成液体，气体的分子，在真正的坐标空间里凝出来了，而这个地方说的玻色－爱因斯坦凝聚，在速度的空间里，分子都掉到最低的能量上去了。现在用的办法是激光冷却，还有叫做分子逃逸的办法，让温度降下来。为什么爱因斯坦预言了效应，1925年预言了，过了整整70年以后才实现了，因为温度要求非常精密，基本上是亿分之几度。当时模拟出来的卡通，最后的冷却是靠什么冷却的？让气体速度快的分子跑掉，剩下的那部分气体的温度降下来了，温度降下来以后，密度也就低了，这个地方画了两个温度计，一个是真正的温度，一个是玻色－爱因斯坦凝聚的温度，真正的温度降到这儿的密度的时候，突然冒出一个尖峰出来。因为这件事情，三位得了2001年诺贝尔物理奖，实验最早在Eric A.Cornelle三个人做的。
气体的玻色－爱因斯坦凝聚真正观测到是在1995年，而实际上类似于玻色－爱因斯坦凝聚的现象，实际上在30年代的时候就被观测到了。发现的人是当时苏联著名的物理学家，叫Kapitsa，他原来在英国的瑞瑟夫实验室工作，后来苏联把整个实验室买回到苏联工作。这个现象叫做液态的超流，把水倒在水杯里，水是出不来的，如果把氦冷到绝对温度2.16度以下，氦会从杯子上爬下来，放一段时间以后杯子空了，原因是什么呢？因为氦跟气之间没有摩擦力，没有阻力，会走下来，这个现象本身叫做超流。是Kapitsa在1938年发现的，发现以后并不清楚这个现象是玻色－爱因斯坦凝聚。那时Kapitsa利用这个发现做了一个事情帮助了他的朋友，非常著名的理论物理学家，是当代最伟大的理论物理学家，当时他有一点麻烦，被关在牢里，Kapitsa专门给斯大林写了一个报告，我现在发现了新的现象，这个现象本身上没有别人能够解释，只有Landan是可以解释这个现象的。果然他真的被放出来了，不负期望，11年发表了两篇文章，解释超流的现象，他们两位分别在78年和62年获得了诺贝尔奖。
另外一件事情发生的更早，原来也不知道跟玻色－爱因斯坦凝聚有关系。1908年荷兰的Kamerlingh Onnes把氦变成液体化，在1913年发生汞是超导的，除了没有电子流以外，很重要的一件事情，完全抗磁，跟磁铁的吸性是相反的，这是一块超导体，这上面是一块磁铁，磁铁是浮在上面的，因为磁力线被完全排斥掉了。1911年发现了超导，一直到1957年由三个人建立了一个理论解释了。1911年发现的超导，1913年得了诺贝尔奖。
氦3的同位素也有超流的现象，跟超导类似。这个现象是1971年，当时做博士论文的年轻学生，叫Osheroff在康奈尔大学发现的，等了很多年以后在实验上才发现，但是他们意识到是一个新的现象。这个现象真正证明是超流的决定性理论，是英国理论物理学家，现在在美国是Leggett提出的理论。氦3的超流并不是原来所设想的理论。
我为什么讲这个事情呢？说了半天的相变，从一个相变到另外一个相。首先需要把相变现象分类一下，温度、体积、压力这些东西的函数，如果在相变点，函数本身是连续的，但是切线的斜率是不连续的，一阶导数，比如体积、容量有跃变，叫做第一类相变。如果斜率本身在这儿也是连续的，只是取变不连续，有了跃变，这种东西就叫第二类相变，超导、超流、磁居里点，或者气居里点叫做第二类相变。
序参量，液体和气体的密度差，或者在铁磁体里的自发磁化强度，是不连续相变的变化，而连续相变是连续的变化。
还有一个概念叫做对称破缺，温度比较高的时候对称比较低还是比较高？温度比较高的时候一般对称比较高，温度比较低的时候对称比较低。什么叫对称破缺？举个例子，有一个自旋，可以向上，也可以向下，就有一个向上、向下的对称。如果自旋是确定的向上或者向下，就没有对称。对称元素的减少就叫做对称元素的破缺。正方形的图，画的点表示可以通过对称的操作连起来，这个点跟这个点在这个线上反射一下，这个点和这个点是在这个线上反射一下，一看是正方形的，有8个对称元素。如果我们想一想，伸长一下，变成长方形以后，只有两个反射，一个相对于这根线的，一个相对于这根线的，从8个对称元素变成了4个对称元素，这个时候就叫对称破缺。
液体和气体的相变，液体和气体原来可以分开密度差，就是序参量。到了临界点以上液体和气体就不能分了。比如铁磁体有一个自发分化，或者向上，或者向下，这时是不对称的。到了高温下以后就没有自发的磁化，上下的对称就恢复了。还要考虑连续的对称，自旋如果可以在平面上转，指定一个特定的方向，这个东西就是所谓连续对称的破缺。
怎么描述相变？有一个最简单的理论，就是所谓平均场理论。平均场的理论，顾名思义，因为粒子和粒子之间有很强的相互作用，现在怎么简化？看定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用以后，把它平均一下，看到这个粒子在平均场受到什么样的相互作用。范德瓦耳斯的状态方程是最早的平均场理论，后来还有很多很多。1937年朗道提出二位相变的普遍理论。朗道的平均场理论，拿一个具体的例子说明，单独的铁磁体，磁的强化强度只能向上或者向下，现在是向上的，这是一个假定，是可以展开，二次方或者四次方，有一个系数，是温度的函数，A是一个正数，B也是一个正数。曲线在高于Tc的时候和低于Tc的时候是不一样的，高于Tc的时候，最小值就是Mo，如果低于Tc的时候就有不等于0的点。按照平均场理论算出来，β等于二分之一，算出磁场的关系，在临界点上是这样的关系，可以算出平常说的磁化率，和T的相对温度之间有一个关系，指数是1。还可以算比热，从低温到高温的时候有一个跃变，本身是一个常数。拿这个曲线转一圈，最低能量可能在某一个位置上。多次发明的平均场理论，即使朗道这么大的物理学家，就没有认识到这是一回事，在物理书里这两个是分开写的，说明人的认识有一个过程。
相变里涨落和关联，有一个磁矩上下折腾，平均下来以后，宏观的磁矩，还可以求出所谓的关联函数，关联函数在通常情况下是指数衰减，衰减的指数本身是随着温度的变化，也有一个临界点，是二分之一。真正在临界点上，随着波长本身也有发散，为什么会在临界点，发现临界乳光的现象，说明涨落非常非常厉害。
整个这件事情本身，这个体系本身在快要到临界点的时候互相关联起来了，不约而同的结体，虽然粒子和粒子之间的相互作用是比较近的距离，但是在快要到临界点的时候互相有关系的粒子运动会变得越来越多，而且这样一个长度的尺度叫做关联长度，就变得非常非常长了，真正在二位相变的时候是趋向于无穷的。这是一个卡通图，拿自旋的东西看的，作为一个例子，整个图上如果只拿一个显微镜，发现自旋向上的区域和向下的区域是互相套着的，是你中有我，我中有你。
平均场理论看起来非常简单，但是非常可气，跟实验不符合，而且是非常非常明显，不是是模棱两可的。比如临界指数算出来应该是二分之一，而实验上看到的是三分之一。r是1，三分之四，更重要的是1944年是Onsager，是荷兰的物理学家，他找到了二维的Ising模型严格解，发现比热对数发散，是对平均场理论最大的挑战。有了现在新的理论以后才发现这个平均场理论要到四维以上的空间才对，我们生活在三维，是不对的。这大概是20世纪60年代的情况。这以后人们不能停止，必须要继续追求，来研究这一现象，那个时候人们注意到一个非常有意思的，虽然平均场的理论是不对的，但是如果用平均场里满足的所谓标度的假定，把磁场和磁化强度和变化温度，这是磁的体系，这是气变的体系，这么标度以后，都可以放在同一条线上，不是没有规律可循，还是有规律可循的。所谓标度变化，就是一个尺度的变化，拿一个自旋的粒子来讲，比如考虑一个自旋的团数，有两个向上，一个向下，我们按照少数服从多数，把这个自旋的团数用一个向上的自旋代替，做一个尺度的变化，这个尺度变化以后就会做相应的变化，可以推出所谓的标度律，发现六个临界指数里，实际上只有两个是独立的，这是从经验里归纳出来的，做了一个假定。
真正解决了这个问题的是原来研究量子场粒子物理的物理学家Kenneth，发明了临界现象的重正化群理论，因为这个得了1982年的诺贝尔物理奖。简单的意思是考虑不同尺度的掌握，先把短的小距离的尺度的掌握处理掉，然后再考虑有限尺度，比较大的尺度的掌握，最后给出一个算法能够算。
现在用一个卡通图说明一下，意思是在整个理论的框架里，在所谓参量的空间里描述。这个图像非常像一个马鞍。马鞍有一个鞍点，看鞍点附近有两种不同的方向，一种是这个方向，另外是有点正交的，是这个方向，如果球在这个方向，就可以往下滑，如果越走越远，叫做有关参量，如果越走越近，叫做无关参量，刚刚所说的标度率，就表示只有两个是有关参量。很多很多不同体系都表现出来同样的性质，叫做普适性，同样一个不动点，鞍点控制整个空间的。临界指数依赖空间的维数，依赖内部的数目和长短。
这个理论本身对不对，必须依靠实验来检验。平均场的理论跟实验室不符合，重正化群的理论跟实验符合不符合呢？这是最新的实验结果，用重正化理论计算出来的临界指数，这是最近在太空的实验里，在没有重力影响的情况之下做的实验，温差从10的负2到10的负9，七个数量级的范围之内，这个试验点和曲线符合的非常非常之好，在理论和实验的误差，而且实验走在理论前面，实验的误差小一些，完全符合。这个计算里没有任何可以调节的参数，应该承认这是理论物理的威力，真正懂得了这个现象，可以从理论上把这个数据算出来，可以到小数点以后第三位，是完全一致的。这件事情本身在物理学里有非常非常重要的影响。
对宇宙有两种不同的看法，一种看法叫做还原论，是很多物理学家非常赞同的，我们作为学物理的来说，非常欣赏。一切都归结为最基本的组成部分和决定它们行为的最基本的规律，可以建立包罗万象的“大统一理论”。大家知道原子是由原子核和电子构成的，原子核是由中子和质子构成的，中子和质子是由夸克构成的，它们之间的相互作用决定的。爱因斯坦晚年时的梦想，建立一个大统一的理论，就可以建立了一个包罗万象的，无所不包的理论。这是一种看法。
另外一种看法叫做呈展论，这个名词的翻译还没有确定，暂时翻译成“呈展论”，叫做Emergence，客观的世界是分层次的，每个层次都有自己的基本规律。重要的是承认这个客观的事实，理解这些现象是如何形成的。
Plilip 4.Anderson在1972年写了一篇文章，中文翻译过来是“多了就是不一样”，说白了的话有很深刻的含义，“将万事万物还原成简单的基本规律的能力，并不蕴含着从这些规律出发重建宇宙的能力。”“面对尺度与复杂性的双重困难，重建论的假定就崩溃了。由基本粒子构成的巨大的和复杂的集聚体的行为，并不能依据少数粒子的性质做简单外推就能理解。正好相反，在复杂性的每一个层次之中，都会呈现全新的性质，而要理解这些新行为需要做的研究，就其基础性而言，毫不逊色”。
可以把我们研究的科学大体分成几个类别，有一个X科学，X科学研究的对象是元件，由Y科学描述的。比如我们是搞凝聚态物理或者多体物理的，由微观粒子物理描述的。化学研究的对象，凝聚态、多体物理的描述，同样有这么多层次。但是大家注意一点，每一个新的层次的科学规律，并不是所谓上一个层次规律的简单的应用。狄拉克是非常著名的物理学家，他在20年代末知道了氢分子的理论，在化学里最重要的事情就是要了解化学件。有了氢分子理论以后就明确了共架件是怎么回事，他说化学已经没事可做了，就是化学已经走到头了。可是他马上又说了一句话，确定的方程太复杂了，没法去解决，把问题只是归结成没法解决。这不是简单的没法去解的问题，而是有新的规律。
相变和临界现象是呈展论最好的例证。对称破缺、平均场理论的失败，关联长度的发散，相变的孕育，标度律和普适性，重正化群的应用和实验检验，我们做事情要先了解规律，从现实出发归纳出基本规律，然后找出描述基本规律的，这中间当然要做一些假定。相变理论突破以后有很大的影响，超导理论有很大的影响。
粒子物理里所谓Higgs机制。粒子物理整个的图谱，如果没有的话，从相变理论到对称破缺这个概念，就不可能有。什么会加速大爆炸，必须运用相变的观念。物理各个部门本身，实际上是非常密切的联系在一起，这是符合物理年的精神。我是做凝聚态物理的，凝聚态跟统计物理跟其它有非常密切的关系，和天体演化、量子态的调控以及其它技术的关系。相变和临界现象是这个领域里的一个现象。
彭桓武最近特别强调爱因斯坦的两段话，“纯粹的逻辑思维不能给我们关于经验世界的知识。一切关于实在的知识，都是从经验开始，又终结于经验。”我做个注解，“对相变和临界现象认识的突破来自于精确的实验，与平均场理论的尖锐矛盾”！
“我们现在特别清楚地领会到，那些相信理论是从经验中归纳出来的理论家是多么错误呀。甚至伟大的牛顿也不能摆脱这种错误”。牛顿当时说了一句话“我不做假设”，实际上是不对的，牛顿三大定律本身实际上是假设。我们现在说的相变和临界现象重正化群理论并不是从简单的实验现象归纳出来的。
20年前我和郝柏林写了一本书，“边缘奇迹：相变和临界现象”，陈晓松同志也参加了。这个书把我今天讲的一部分内容包括了，概括出来。谢谢大家。
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