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从阿基里斯追不上乌龟进一步猜测

已有 2312 次阅读 2023-6-24 16:41 |个人分类:一日三省|系统分类:人文社科

      希腊哲学家芝诺提出了三条悖论,其中一条是阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯是希腊神话里最擅长跑步的神。芝诺认为阿基里斯和乌龟的距离可以无限缩小,但是永远追不上乌龟。因为在竞赛中,追击者必须先到达被追者的出发点,才算追上。所以,当阿基里斯到达乌龟出发的那一点时,乌龟便又往前移动了,他就必须得继续追上乌龟,这就成了一个循环。

       比如,开始时,乌龟先爬了10米,阿基里斯开始追,当追到10米的时候,乌龟已向前爬了一段距离,新的出发点便再次产生了,阿基里斯便要继续追赶。所以,只要乌龟不停,新的出发点便会一个接着一个地产生,阿基里斯就得无限地追下去。

     当然,芝诺推论出现问题。阿基里斯无限地追下去,但所有的时间点之和是有限数。可采用无穷数列求和的方法,算出阿基里斯追上乌龟的时间。

     假设t1代表阿基里斯跑到乌龟第一个开始点所花的时间;那么在t1时间里,乌龟到达第二个开始点,两者距离为t1*Vg,Vg为乌龟的速度;

      阿基里斯跑到乌龟第二个开始点所花的时间为t1*Vg/Vr,Vr为阿基里斯的速度;那么在t1*Vg/Vr时间里,乌龟到达第三个开始点,两者距离为t1*Vg/Vr*Vg

    阿基里斯跑到乌龟第三个开始点所花的时间为t1*Vg/Vr*Vg/Vr

     持续下去,

      阿基里斯追上乌龟的时间为t1(1+Vg/Vr+Vg/Vr*Vg/Vr……)。

      当假如Vg小于Vr,阿基里斯肯定能追上乌龟的。采用无穷数列求和,获得最终追上乌龟的时间。无穷数列求和,得到公式t1/(1-Vg/Vr)。

      不妨对这个公式进行一些更深的分析。假如乌龟是一只机器人乌龟,比阿基里斯跑得还快。本来计划是阿基里斯追上乌龟,由于乌龟速度更快,结果是两者之间的距离越来越远。

        假如Vg大于Vr,数列就变成了发散数列,按数学定义是没有意义的。如果按照求和公式计算,假如Vg大于Vr,分母就会变成负数,自然t会变成了负数。当t变成负数,好像没有什么意义,但可以重新定义。当t为负数,代表了在前面t时刻,阿基里斯和乌龟碰面了。

       通过重新定义公式的含义,仍然有意义。原来的公式定义为:阿基里斯追上乌龟的时间。现在定义为:阿基里斯和乌龟碰面的时间。并以某个时间开始点为“0”,作为计量的初始点。如果时间为“正”,就按通常的做法。假如时间为“负”,就代表阿基里斯和乌龟已提前碰面。

       对发散无穷数列的研究总能让我们得到一些有趣的见解,正如欧拉计算1+2+3+……。对无穷发散级数,进行重新定义总可以得到好的结果。

       数列发散代表着原有的假设可能不正确。假如乌龟比阿基里斯跑得快,阿基里斯肯定追不上乌龟。如果我们计算追上乌龟的时间,自然超出了原有定义之外。通过延拓定义或者改变公式形式,结果为负值,代表着乌龟与阿基里斯早早就已碰面,用负值给出了碰面时间。

      以上说明了一些问题,很多的数学公式也有自己的局限性。 本文给出了一个实实在在的解释和应用。



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