因杨六省老师之邀，之前转载过多篇关于数学教学方面的论述，如“杨六省：美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？”等，前天，杨六省老师又寄来一篇新作——“毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”，希望借助科学网博客平台，就相关问题进行探讨，下面是杨六省老师的观点阐述，仅仅在此进行转载，欢迎数学行家对此进行点评，也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题

犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误

杨六省

Yangls728@163.com

  这棵树是梨树吗？如果我们面对的就是这棵梨树或就是某棵树，我们会问，它是梨树吗？很显然，后者省略了上位概念（属）树，而只涉及下位概念（种）梨树。“最简分数”是个下位概念，与之相并列的下位概念是“非最简分数”，二者的并集是上位概念“分数”。为了证明√2不是有理数，我们本应该就上位概念“分数”进行假设，然而，也许是由于把“分数”化为“最简分数”是自然而然的事，以至于成为人们的一种下意识的惯性思维，于是，人们便就下位概念“最简分数”作假设了，但这是错误的。如果我们能够把“假设√2是最简分数”转变为一个问句——“√2是最简分数吗？”然后，于这种情境中，审查“最简分数”是不是还有上位概念，如果有上位概念，并且这个上位概念就是我们所要讨论的对象，那我们的假设（反论题）肯定错了。事实上，到了这种情境，我们不难看出，“√2是最简分数吗？”就是一个复杂问语，它是以承认“√2是分数”为真进行提问题的，据此讨论问题是注定不会有结果的。与“√2是最简分数吗？”相并列的提问是“√2是非最简分数吗？”由于“分数”概念与“最简分数”概念之间的关系的确平淡无奇，于是，把“假设√2是分数”换成“假设√2是最简分数”似乎也就成了理所当然的事了。但是，“分数”作为一个上位概念，“最简分数”作为一个下位概念，它们之间的区别在我们所讨论的问题中，就变得不同一般了。简言之，由于毕达哥拉斯学派在设定反论题时，犯了上位概念与下位概念相混淆的逻辑错误，故其关于“√2不是有理数”的证明是无效的，理由是，纵使你能够魔术般地否定下位概念“√2是最简分数”，但这并不意味着你否定了上位概念，因为还有另一个下位概念“√2是非最简分数”你没有考虑呢！

 我们可以提问：“√2是分数”与“√2是最简分数”，哪个是“√2不是分数”的反论题？也可以倒着提问题：所谓的反论题“√2是最简分数”，其原论题是什么？是“√2是非最简分数”，还是“√2不是分数”？若是前者，能说明√2不是有理数吗？若是后者，能满足“反论题假则原论题真”吗？如果不能满足，由于没有人会怀疑“√2不是分数”就是我们所要证明的原论题，这难道不正好表明“√2是最简分数”不是原论题“√2不是分数”的反论题吗？简言之，毕达哥拉斯学派为了应用反证法证明√2不是分数，把“√2是最简分数”作为“√2不是分数”的反论题，这表明其从一开始就犯了方向性的错误，因为其做法（指反论题的设定）与证明目的是背道而驰的（注：所谓的反论题“√2是最简分数”为假，表明“√2是非最简分数”，即分子与分母有不等于1的公约数，此结论蕴涵分子与分母全是整数，与我们所要证明的“√2不是分数”正好矛盾）。