复数与复空间大小的讨论

有人认为：不能定义复数与复空间的大小。但没能说出：为什么不能？

有人认为：给复数定义大小可能是有点问题，说成定义一种“序”，即“字典序”好点。但也没说出：可能是有点什么问题？说成“序”即“字典序”，为什么会“好点”？怎么样的“好”？

有人解释说：复数如果看作矢量，其点乘是AC+BD，如果做叉乘，就跑到复平面外面去了。

序结构与复数通常的乘法运算（即复空间的那种运算）不能兼容。

如果按字典序定义序结构，i与自身乘一下就会出问题，

通俗点说，实数中诸如“A<B,C>0可以推出AC<BC”等性质不再成立。

因此在复平面内定义序结构没有多大意义。

 为此，须作如下讨论：

1．  所谓“序”、“字典序”是什么？

       “序”是按某种原则，排列的事物的顺次。

对于不同的事物，分别有不同的恰当的排序原则，而会得到不同的顺序。例如：

人们排队，可按到达的先后、身材的高低（还有高先与低先的不同）；人名的排序可按姓名顺序的笔画数或拼音首字母的顺序，等不同的原则排序，就都分别有不同的结果顺序。

“字典序”就是一般序的一种特例。是按各字笔画的某种顺序规定，或各拼音字母的顺序等等的原则，对所有的字进行的排序。

可见：它们都是必须有明确的排序原则才能进行。如果没有明确的排序原则，又怎能，和如何，进行排“序”或“字典序”？！

 

2．  所谓“大小”的含义。

通常所用“大小”是表达了广泛而确定的含义：包括：数量的多少，线度的长短，面积的广狭，体积的肥瘦，时间的久暂，乃至年龄的老幼，职位的高低，等等，

对于“数”来说，就应是明确表示：其所代表的数量的多少。

用数轴表达“数”的大小，就明确地应是：用数轴上的相应长度表示各该数所代表的数量的多少。

        可见，对于所有的“数”，只能以其大小作为排序的原则才能排出其序。否则，是没法排序的。

        如果“不能定义复数与复空间的大小”，又能按什么原则，来给它们排“序”或“字典序”呢？！

 

3．如何确定复数与复空间大小和“序”？

对于实数，其数值的大小是确定的，完全可按其数值的大小，排定其“序”，也能排定其在实数轴上的“序”。

虚数是各相应的实数乘以i，也完全可按其相应的实数数值的大小，排定其“序”，也能排定其在虚数轴上的“序”。

而复数与各种复空间，就可分别如下排序：

 

（1）实、虚两正交数轴组成的2维复平面

在此复平面上4个相限内的具体表达，例如：

A+iB;-A+iB,-A-iB,A-iB，它们就相当于复平面上4个相限内的4个矢量。

它们的模长就分别是它们的自乘积开平方。

与矢量运算一样，同一矢量的叉乘=0，它们的自点乘积就是它们的自乘积，即：

它们的模长均为：(A^2-B^2)^(1/2),

A+iB与-A+iB的点乘：-A^2-B^2, 叉乘：2iAB

A+iB与C+iD的点乘：AC-BD, 叉乘：i(AD-BC),”

   它们的大小都与相应的矢量的大小相类似地确定，只是还需注意虚数因子i的运算。

在此，它们的模长(A^2-B^2)^(1/2)与实数矢量的模长(A^2+B^2)^(1/2)，当然应该不同，因为有虚数因子i的平方存在。

 

这正反映出这种类复空间应有的特点，怎能反而，以此，认为：

“叉乘就跑到复平面外面去了。”、

“与复数通常的乘法运算（即复空间的那种运算）不能兼容。”、

“在复平面内定义序结构没有多大意义。”呢？！

 

（2）闵可夫斯基4维复时空矢量

    对此复时空矢量，

时轴分量的模长为虚数的1维：ict，

空间分量的模长为实数的3维：r1，r2，r3，

此矢量的模长为它的自乘积即自点乘积开平方：

(-(ct)^2+(r1)^2+(r2)^2+(r3)^2)^(1/2)，

   由于4维的矢量已能形成各种多线矢，它们的矢量表达与矢算就已与通常3维空间的显著不同，需创建相应的矢量表达与矢算。而通常3维空间的是它的低维特例。但是，都能确定各种多线矢的相应大小（模长）

   详见本博客有关博文。

 

（3）通常1维空间的复数

通常的复数可看作在1维空间既有实数部；又有虚数部的数。

那么，是否就不能确定其大小呢？！

例如：复数A+iB与C+iD，

对其实数部：可由A与C的大小确定其大小。

对其虚数部：可由B与D的大小确定其大小。

它们各自模长的大小可分别如下表达：

(A^2-B^2)^(1/2)，(C^2-D^2)^(1/2)

复数A+iB与C+iD的乘积可表达为既有实数部；又有虚数部的：

AC-BD+i(AD+BC)，

    当然，复数的运算结果会与实数或纯虚数的运算结果不同。

    但是，也都完全能确定其大小。

 

（4）多维复数的空间矢量的大小

    只是各维的模长都是相应的复数。其各多线矢的矢算和大小（模长）都与相应实空间的类似，只是也须注意其中虚数因子i的作用。

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