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简介《数学原理》(Principia Mathematica)

已有 1698 次阅读 2022-1-2 04:27 |个人分类:在法国教逻辑课|系统分类:科普集锦

《数学原理》(Principia Mathematica)是怀特海和罗素的作品,共三卷,于1910-1913年出版。与弗雷格的《概念文字》(concept-script)一起,对现代逻辑的诞生起着决定性的作用。


一,内容

《数学原理》包括集合理论,基数和序数以及实数,更高级的实分析定理没有包括在内。最初计划出版第四卷,但没有完成。

《数学原理》试图用一种特定的逻辑符号语言,从一个定义明确的公理和演绎规则中推导出所有数学定理。

他们使用的是Peano开发的逻辑符号,尽管已经做了重新调整,以期使本书的内容更加清晰和简洁。

二,著作的重要性

数学原理被认为是逻辑学史上最有影响力的书籍之一,可与亚里士多德的工具论Organon)相媲美,在数学基础的研究中发挥了主导作用。Godfrey Harold Hardy在对该书的评论中承认其内容的重要性,甚至写作风格,但他认为这是一本很少有人会完整阅读的书,所使用的符号可能会让大多数读者,包括数学家自己感到厌烦。

现代图书馆在二十世纪最重要的一百本英国非小说类书籍的名单中,将其列为第23位。

三,理论基础

与形式主义理论不同,《数学原理》的逻辑主义理论并没有规定形式主义的语法,这个理论的解释(在模型理论的意义上)是以真值的形式呈现的,特别是用符号 “ ”(真值断言), “~ ” (非),以及 “V ”(或)。

四,形式理论的现代构建

一个现代形式系统构建如下:

1,使用的符号:这个集合是起始集合,其他符号可以创建,但只能通过起始符号的定义。一个起始集合可以是来自Kleene, 1952:逻辑符号 ”(蕴含,IF-THEN ),“&”(和), “V”(或), “¬ ”(非), “ ”(所有), “(存在);谓语符号 “=”(相等);函数符号 “+ ”(算术加法), “∙ ”(算术乘法), “’ ” (后继);个体符号 “0 ”(零);变量 “a” “b” “c”等;和括号 “ 

2,符号串:该理论将通过连接(并列)构建符号的

3,形成规则:规定如何构建格式良好的公式fbfs

4,转化规则:规定符号和符号序列行为的公理。

5,推理规则, modus ponens : 允许理论从前提中获得结论,并随后抛弃前提的规则(如果是水平的,则符号在线的左边│或线的上面)。事实上,在应用了论证方式后,只剩下结论。


现代理论常将 modus ponens作为第一条公理。

AA  B  B

符号  通常用一条横线表示,这里的表示蕴含,符号AB是变量;这种形式的符号被称为公理图。这可以解读为:如果AA蕴含B ,那么B,从而保留B供以后使用。但符号没有解释(即没有真值表 “真值真值函数), modus ponens仅通过语法机械地进行。


参考文献:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica




https://m.sciencenet.cn/blog-2322490-1319218.html

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2 张学文 杨正瓴

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