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薛定谔方程解法的深刻物理含义

已有 1712 次阅读 2022-3-31 09:51 |个人分类:量子力学|系统分类:科普集锦

虽然一般薛定谔方程形式上可以写成类似牛顿第二定律的样子:

但是我们从来不像用牛顿定律那样,解波函数的运动方程,也就是从上一时刻波函数的波函数求出下一时刻波函数的状态,即解出波函数的随时间演化。

前文中我们已经说过,薛定谔方程的完整形式更像一个扩散方程,而其推导过程表明它是一个恒等式,而不是一个一般意义上的方程。薛定谔方程的解法,更不像解方程,而是根据我们在具体物理体系中确定的边条件,选择我们觉得合理的一些波动模式。我们选择的波动模式,构成本征解集合。本征解的任意叠加,都是薛定谔方程的解。我们解薛定谔方程,并不能得到量子处在什么状态,而只是说,量子可以处在一些什么本征模式的叠加态上。这些本征模式对应不同的分立能量值(能量本征值),我们通常也只是对这些能量本征值感兴趣,实验数据得到的一般也是能谱。

我们假定一个环境中,充满各种各样的波动(想一想真空涨落的概念,而任何一个涨落又可以分解成广谱的简谐振动),那么这些波动,有些成分会相消,有些成分会相加。该物理体系中,本征模式都是优势模式,如果没有耗散,就不会衰减。即使有耗散,也是衰减最小的,而其它模式(或者说分解组分,频率,对于电磁波动,对应光子能量)很快衰减。

我们也可以把空间任何一个点当成一个广谱波动源,每个点的振动组分中,本征模式(能量)部分会共振加强,非本征模式会衰减。任何一个波动体系,静态演化的结果必然只剩下系统的本征波动。这些本征波动,就是定态薛定谔方程的解。如果体系不够理想,比如一直有涨落源,或者边条件的约束不够理想,那么本征能量值附近就会出现一个共振峰,有一定宽度。宽度表征了系统的部分热力学性质,比如温度。

要让全空间的波动源都协调起来,需要它们之间的相互影响足够快,或者时间足够长。薛定谔方程将波动抽象化了,相当于假定不同点之间瞬时联系(即感应,共振),在相互作用以光速传递的微观世界,这一假定足够理想。

因此,薛定谔方程的解法,就是找到所有自然波动中,互相加强即共振的模式,也就是本征模式。其它所有讨论,如量子化,角动量耦合,甚至各种波动性,都是对本征模式的讨论。

对于一般的原子分子体系,每个原子本身就是共振子,系统越复杂,共振模式越多。我们在不同物理体系中,修改薛定谔方程的哈密顿量,就是为了找到这些共振(本征)模式。

共振本身有独特的性质。两个普通振子,周期有微小的差别,让它们耦合起来,就会以统一的周期振动,耦合的振子越多,周期越稳定。对于原子来说,本来它们就非常一致,所以我们可以观察到尖锐的谱线。温度会展宽谱线,所以很多量子效应,需要在低温下实现。



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2 王安良 朱林

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