碰到“没有答案的问题”，人类就创造出新数

 

 

人类创造新数并不是从虚数开始，人类历来都是在碰到“没有答案的问题”时便将数的概念扩展，想出新种类的数来。

事实上，“2分之1”和“2的平方根”（squr{2}）这一类数，也都是求解“没有答案的问题”的产物。

 

在所有的数中，起源最早的是“自然数”。

所谓自然数（natural number），是指诸如1个苹果、2只羊、3棵树……，在清点事物个数时所使用的那种数。

世界四大文明（美索不达米亚文明、埃及文明、印度文明和中国文明）各自很早就有了自己的代表自然数的文字。

 

“2”是自然数，这并不意味着“2”本身是自然界中实际存在的事物。

自然界中实际存在的是“2个苹果”、“2只羊”……等等。

古人看见诸如“2个苹果”和“2只羊”一类事物，发现了它们之间的共同点，于是在头脑中形成了“2”这个数的概念。

 

两个自然数相加，必然是自然数，两个自然数相乘，也必然是自然数。

但是，对两个自然数进行除法运算，有时候就会在自然数中找不到答案。

例如，“6÷3”，答案“2”，这是个自然数，

但是，同样是除法问题，“1÷3”，就没有自然数的答案。

 

于是，古人针对“1÷3”这样的问题，给它的答案取名“3分之1”，

把这种答案也当作数来处理。这就是“分数”（fraction）的发明。

 

自然数、连同自然数派生出来的分数，合起来叫做（正）“有理数”（rational number）.

使用有理数，人类不仅可以几点物品的“个数”，也可以对长度、重量、体积等“量”用数来表示了。

 

 

 

小结

 

分数和有理数世界

 

1. 古埃及的分数

   古埃及已经有了代表“2分之1”、“3分之1”一类分子为1的分数（单位分数）的象形文字（圣书体）。

例如，一个类似橄榄核的图形，下面放2个点代表“1/2”、放3个点代表“1/3”、放4个点代表“1/4”。分子不为1的分数（如4分之3）则书写成单位分数之和的形式。而且，除了这类代表单位分数的圣书体字符，还有其他的圣书体字符也可以用来表示分数，如“霍鲁斯的眼睛”的字符组中的字符（“霍鲁斯”是古埃及的太阳神）。

 

2. 毕达哥拉斯和有理数

   公元前6世纪，在意大利南部城市克罗托内有一个以毕达哥拉斯为首的既是学派又是教派的群体，有数百人之多。毕达哥拉斯及其弟子们相信，自然数和自然数之比（分数）囊括了数的全部。

毕达哥拉斯学派的一种徽标“四元体”。毕达哥拉斯学派认为10是一个完美数，可以表示为1—4这四个连续自然数之和，而且，代表着四个自然数的那些点正好排列成一个正三角形：

１　●

２　●　●

３　●　●　●

４　●　●　●　●

　　１＋２＋３＋４＝１０

 

毕达哥拉斯音阶

毕达哥拉斯认为，多根琴弦奏出和弦，各琴弦长度之间的关系必定恰好是自然数之比（毕达哥拉斯音阶）。这是他和他的学派特别重视自然数之比（有理数）的原因之一。

琴弦长度比：　4/3∶1∶3/4∶2/3∶1/2∶1/3

 

 

3. 循环小数轮盘

   把有理数1/7、1/17、1/61分别写为小数，得到的都是“循环小数”。

1/7的循环部分有6位；1/17的循环部分有16位；1/61的循环部分有60位。分别把各自的循环部分按顺时针方向排列起来，形成一个轮盘的样子，作为例子给出的这3个循环小数轮盘两侧任何正对的两个数字相加，正好都等于9。

 

 

有理数的条件

能够被表示为“分母和分子都是自然数的分数”的数，叫做正有理数。如果分子不能被分母除尽，则分两种情况：“能够在小数点后某处终止的小数”（如，1/4=0.25）和“在小数点后有一组数字无限循环的小数”（如1/3=0.333333…）。前者叫做有限小数，后者叫做循环小数。循环小数全都能够改写为分数的形式。例如0.123123123…，就是以循环部分“123”为分子，以相同位数并列的“9”（999）为分母的分数，即可以改写为123/999。

 

 

 

扩展阅读

 

虚数 —— 一种“并不存在的数”

 

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