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3.3 收入比预期低?拉格朗日乘子法的解释

已有 25730 次阅读 2021-12-17 10:20 |个人分类:生活1|系统分类:观点评述

工作的理想状态是什么?“钱多、事少、离家近”是很多普通人的愿望。类似这样的多目标的优化任务,经由拉格朗日乘子法的推导,可以展现了我们为什么实际收入会比预期低的一个原因。

经济学家司马贺说,“激励(aspirations)有很多的维度:一个人可以追求愉快的工作、爱情、美食、旅行等等……一般来说,在一个维度的小的损失,需要另一个维度大的收益才可以补偿。因此,系统的净满意度是依赖于过程的(history dependent),人很难平衡补偿性的偏离(compensatory offsets)”[1] 类似的,我们找工作的时候,作为社会人,并不只追求收入,也需要衡量很多不同的维度,比如工作与生活的平衡。 

“钱多、事少、离家近”是网友们对于理想工作诙谐的总结。普通人选择工作,他/她有一个特点,条件允许的情况下,当然会选工资最高的工作,但是生活中常常有限制(constraints)。比如甲公司的工作收入20一年,通勤时间2小时,与乙公司的工作19一年,通勤时间1小时,大多数人会选19万的。假设8小时工作制,前者的性价比20/(8+2)=2,后者则是19/(8+1)=2.1119万薪水的性价比更高。但是很多现实情况下,我们无法做这样一个直观的数值计算,需要建立数学模型。

“钱多、事少、离家近”代表的含义是收入、上司是否烦人、以及上下班的通勤三个重要的维度的平衡。为了问题的简化分析,我们忽略其他的维度,比如同事,工作餐美味程度等等。搭建如下的优化的目标函数:

eq1_new.png

这里Oobjective)代表需要优化的目标,Iincome)代表收入,Bboss)代表领导的脾气好坏,Ttransportation)代表上下班的通勤时间(开销),而αβ则代表两个权重因子,不同的人对领导或者通勤问题的侧重程度不同。

由拉格朗日乘子法的定义,多目标权重函数的优化,可以转化为约束条件下的优化,也就是说原问题

eq2_new.png 

约束条件下的优化收入等价:

eq3_new.png

这里Kkind)与A(allowance)代表了对领导性格与交通的约束条件的限制取值,这两个数值由权重因子αβ决定。约束条件下的最优收入为IC*

无约束(自由)条件下maximze I的最优收入为IF*约束条件下的优化,是在可选子集中的目标函数的优化,肯定不大于全集中的函数最优值:

eq4_new.png

等号只在无约束的情况下成立。也就是说,员工追求的生活与工作平衡,是有约束条件下的收入最优化,永远都会低于无约束条件下的最优收入。这个数学推导看上去是完全琐碎(trivial)的,在生活中有什么意义呢?

工薪阶层在选择工作的时候,有时候为了更高的收入,牺牲一定的生活质量;或者为了生活质量,而牺牲一部分收入。高收入者较少受生活中其他条件的约束:比如可以花钱在公司附近买房居住,便解决了交通通勤的问题;领导脾气是否好也不那么重要,因为自己是公司的中高层领导。也就是说,高收入者的优化收入问题中,权重系数αβ可以接近于0,可以更加自由地商谈薪水,取得更加优势的地位

进一步来说,由于多目标的优化可以转化为约束条件的优化。在市场均衡的情况下,统计上来看,员工的收入都是低于预期的最优市场价的。举个例子。一个插画师觉得收入太低了,转行做计算机程序员;而一个程序员财务自由了,想去学插画了。两者的公司对调,插画家薪水从10提高到20万,程序员薪水从50万降到了5。两个人薪资的总和低于对调前的薪水,因为插画师的编程水平没有原程序员高,而程序员的插画水平低于插画师。当然这里有个关于职位对调的隐含假设:因为程序员代码写得很好,只需要维护即可,所以插画师的初级编程能力也可胜任;插画师的工作也提供了很多素材,程序员可以在此基础上修改创作。

在员工与公司的博弈中,基本处于不对等的地位。员工选择是否接受一份工作时,要衡量很多不同的因素,所以会为了生活的情况,而牺牲收入的最优化。但是公司在支付薪水时,并不需要考虑员工的约束条件,而只需要考虑才能与薪水是否匹配。所以公司在与员工进行薪资商谈(negotiation)的时候,处于上风。实际上,公司在薪水商谈中的优势地位,还有其他原因。类似于前文所说的囚徒困境,公司可以在若干职位候选人中,可以选择薪水要求最低的一个。美国的高科技公司因为组成了“互不挖角”的协议,压低程序员的薪水,而违反了美国的反垄断法,而缴纳了罚款[2]

经济活动离不开人的活动与参与,100块钱丢在地上,不会长出利润或者利息来。在追求工作与生活的平衡时,多目标的优化引发实际收入低于预期收入,所以,公司比员工更具有薪水协商的优势地位。虽然理解这样的经济学原理,并不能提高收入,但是可以增加我们的理性,我们可以更加确定地去追求对我们而言最重要的幸福。

后记:关于拉格朗日乘子法的推导,当时正好在学习支持向量机(support vector machine)的原始解与对偶解的推导(the primal and dual solutions,里面解释道符合斯莱特条件(Slaters condition)时,满足强对偶性(strong duality),即,原始解与对偶解的间隙为零,否则对偶解总是低于原始解。而司马贺的人工科学,又指出了现实工作时,我们并不只为了优化收入,还有生活中的其他情况需要考虑。两者结合,我们便可以推导出实际收入低于预期收入的一个机理。

 

引用文献:

[1] 司马贺,《人工科学》,麻省理工学院出版社,1996年,Herbert A Simon, The sciences of the Artificial, MIT press, 1996.p.30

[2] High-Tech Employee Antitrust Litigation, Wikipedia,



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