理性和感性定律
——几何学的描述及其意义
长沙非线性特别动力工作室
理性,是理性者的裹脚布;
感性,是感性者的迷魂汤。
理性,是感性者的清醒剂;
感性,是理性者的裁剪刀。
Horseloverice用哲理性语言描述了理性和感性,前两句是对单一理性极端状态和单一感性极端状态的批判,而后两句则是对理性与感性两者之间关系的阐述。理性和感性是人在现实中对自然事物(客观对象)的本质属性的行为反映。对决大多数人而言,在决大数情况下一般都是处于理性和感性两个极端状态的之间。当然,有的人有时也会有处于单一理性极端状态,或单一感性极端状态。而同时处于理性极端状态和感性极端状态是十分少见的。那么,我们能否用更深刻的数学语言来描述理性与感性呢?显然,这是一个十分有趣且十分有意义的事情。
假如我们把理性看成代数(A),感性看成几何(B),你会发现二者加在一起才是真正的数学(智慧)。
Michael Atiyah(2005)在《二十世纪的数学》一文中就是这样类比的:“对几何学家而言,代数就是所谓的‘浮士德的奉献’。正如大家所知道的,在歌德的故事里,浮士德通过魔鬼可以得到他所想要的(就是一个漂亮女人的爱),其代价是出卖他的灵魂,代数就是由魔鬼提供给数学家的供品。魔鬼会说:‘我将给你这个有力的机器,它可以回答你的任何问题。你需要做的就是把你的灵魂给我:放弃几何,你就会拥有这个威力无穷的机器’(现在可以把它想象成为一台计算机!)。当然我们希望同时拥有它们,我们也许可以欺骗魔鬼,假装我们出卖灵魂,但不真地给它。不过对我们灵魂的威胁依然存在,这是因为当我们转入代数计算时,本质上我们会停止思考,停止用几何的观念来考虑问题,不再思考其含义。”
实际上,Atiyah给我们提出了一个需解决的问题:“当我们转入代数计算时,本质上我们会停止思考,停止用几何的观念来考虑问题,不再思考其含义。”那么,怎样才能做到双管齐下、双剑合璧呢?
事实上,任何客观对象自身是完整而稳定的,是一个A和B重叠的复合体,只有当我们的思考与它客观对象相适应时,也就是思维具备完整性且不发生分裂时,才有可能得到我们理想的状态,这样的状态在几何学上为0维。这样,问题就集中到了我们怎样才能做到A和B重叠。
为使我们能便于进入到0维视界,可以先从其它不同维度来看一个人对客观对象的理性和感性状态。在一维视界中,理性和感性状态表现为两个点,分别为A和B,这两点之间为直线连接。对一个要求保持完整思维的人来说,一维视界是不稳定的,处于一种摆动状态,为概率分布。由于发生摆动就有了时间,因此,从A→B或从B→A就会出现时滞(图1)。这样,在一维视界中人的思维属于不完整的、分裂的状态。那么,二维视界的情况又是这样的呢?