构造整域变换：x=3n+d,y=3n-d,z=n/2。
1. d=0,n=0,x=3×0+0=0,y=3×0-0=0,z=0/2=0。2.d=1,n=0,x=3×0+1=1,y=3×0-1=-1,z=0/2=0。3.当d属于Z,n属于N+时，x=3×1+d,y=3×1-d,z=n/2；当d属于Z,n属于N-时,x=3×(-1)+d,y=3×(-1)-d,z=n/2。(1)d属于Z,n属于N+。【1】(3×1+d1-1)/3=(3×1-d1)/2,d1=1;(3×1-d2-1)/3=(3×1+d2)/2,d2=-1。【2】(3×1-d3)/2=2(3×1+d3),d3=9/5;(3×1+d4)/2=2(3×1-d4),d4=-9/5。【3】3(3×1-d5)+1=2(3×1+d5),d5=4/5;3(3×1+d6)+1=2(3×1-d6),d6=-4/5。取d=1,则x=4,y=2,可得循环圈A=(4,2,1,4)。根据变换原则,n=1时满足3×1+1=4,3×1-1=2,可得循环圈F=(4,2,1,4)=A,因此可得循环圈(A,A)。因此正整域上的3n+1变换有且只有循环圈A=(4,2,1,4)。(2)d属于Z,n属于N-。＜1＞由(1)可知n=-1时本变换等价于(1),因此d=1,x=-2,y=-4,可得循环圈B=(-1,-2,-1)，因为-4不属于B,所以n=-1时不满足变换原则，因此取n=-2。＜2＞【1】[3×(-2)-d7-1]/3=[3×(-2)+d7]/2,d7=4/5;[3×(-2)+d8-1]/3=[3×(-2)-d8]/2,d8=-4/5。【2】[3×(-2)-d9]/2=2[3×(-2)+d9],d9=18/5;[3×(-2)+d10]/2=2[3×(-2)-d10],d10=-18/5。【3】3[3×(-2)+d11]+1=2[3×(-2)-d11],d11=1;3[3×(-2)-d12]+1=2[3×(-2)+d12],d12=-1。取d=1,则x=-5,y=-7,可得循环圈C=(-5,-14,-7,-20,-10,-5),根据变换原则，取n=-14。＜3＞【1】[3×(-14)-d13-1]/3=[3×(-14)+d13]/2,d13=8;[3×(-14)+d14-1]/3=[3×(-14)-d14]/2,d14=-8。【2】[3×(-14)-d15]/2=2[3×(-14)+d15],d15=126/5;[3×(-14)+d16]/2=2[3×(-14)-d16],d16=-126/5。【3】3[3×(-14)+d17]+1=2×[3×(-14)-d17],d17=41/5;3[3×(-14)-d18]+1=2[3×(-14)+d18],d18=-41/5。取d=8,则x=-34,y=-50,可得循环圈D=(-34,-17,-50,-25,-74,-37,-110,-55,-164,-82,-41,-122,-61,-182,-91,-272,-136,-68,-34),根据变换原则，取n=-17。＜4＞【1】[3×(-17)-d19-1]/3=[3×(-17)+d19]/2,d19=49/5;[3×(-17)+d20-1]/3=[3×(-17)-d20]/2,d20=-49/5。【2】[3×(-17)-d21]/2=2[3×(-17)+d21],d21=153/5;[3×(-17)+d22]/2=2[3×(-17)-d22],d22=-153/5。【3】3[3×(-17)+d23]+1=2[3×(-17)-d23],d23=10;3[3×(-17)-d24]+1=2[3×(-17)-d24],d24=-10。取d=10,则x=-41,y=-61,可得循环圈E=(-41,-122,-61,…,-41)=D,因此可得循环圈(D,D),因此负整域上各个循环圈的变换终结于循环圈D,负整域上的3n+1变换有B，C，D3个循环圈。
结论:整域上的3n+1变换有A，B，C，D4个循环圈。