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第四期:【爵士“神器”:双摆】双摆运动方程遇到了李清照

已有 9486 次阅读 2017-11-30 22:46 |个人分类:方程之声|系统分类:人文社科|关键词:学者| 如梦令, 双摆, 原创音乐

特邀嘉宾:白兰淑 (5分30秒处演唱原创歌曲)

第四期:音频请点击此链接.mp3 或关注微信公众号:方程之声

双摆的音色

1978年,湖北随县出土了一套稀世珍宝“曾侯乙编钟”。这是一套双音编钟,敲击不同位置的音高是不同的,正鼓音和侧鼓音差三度音程。2017年的今天,我在物理课本中“出土”了一件双摆,和2400年前的编钟很相似。因为它竟然也是一件双音乐器。令我感到惊讶的是,这件乐器还特别适合演奏爵士乐。

把双摆做成乐器其实很简单。第一期就介绍过单摆的音色。双摆就是单摆的下方再悬挂一个小球。如果计算出这两个小球的摆动方式,然后就可以将下面的小球的位移转化为声音的波形,就可以做成乐器了。

在开始之前会有一个很长的铺垫。

什么是摆动?【铺垫】

摆动是一种往复的运动。其随处可见:

摆是侠士穿梭竹林之上的倩影......


摆是那翘首顾盼的双眸......

摆或是抚琴歌者身旁的婀娜舞姿.....

摆亦是那不舍昼夜流逝的光阴......

单摆【再铺垫】

当用一根绳子把一个小球悬挂起来,稍加外力小球就摆动起来了。


单摆是一个理想的物理模型,它包含摆线的长度远大于摆球的直径,摆线非常柔软且质量可以忽略。

当摆角很小的情况下,单摆的摆动是简谐运动,可以写成正弦函数或者余弦函数的形式。

当摆角很小的情况下,摆动的周期是恒定的。


l 为摆长,g重力加速度9.8m/s。比如,摆长l=1m,单摆的周期为2.01s,周期不随摆幅大小变化,也不因小球的质量大小变化这也是为什么可以用单摆来计时。

小摆幅单摆的动力学方程【又铺垫】

动力学方程离不开牛顿第二定律:物体加速度的大小跟作用力成正比,跟物体的质量成反比,且与物体质量的倒数成正比。



由牛顿第二定律可知,单摆的水平方向满足:


其中当摆幅很小的情况下,,绳子的拉力约等于小球的重力,Tmg。带入上式得到:


最后得到方程的解为:



小摆幅双摆的动力学方程【进入正题】

假设有一个双摆,位于上方的小球质量为m1,位置为x1,绳长为L1,摆角为th1;位于下方的小球质量为m2,位置为x2,绳长为L2,摆角为th2。对于大摆角的情况下,它的运动是非常复杂的,我们这一期先讨论小摆角的情况。

同样由牛顿第二定律:


当摆幅很小,绳子L1的张力T1m1 g+m2 g,绳子L2的张力T2m2 g,且

,带入上式得:



假设这两个小球的质量相等m1=m2。这个偏微分方程组的解有两个本征频率:


我用数值计算的方法求解出双摆运动曲线。


不同摆长的双摆


敲击不同的小球,小球的运动曲线是不一样的。假设我们敲击第2个小球,然后把第2个小球的运动曲线做成声音。理论上,同时可以听到两个频率为f1f2的声音。

1)考虑一个m1=m2, l1=l2的双摆,它是由频率为f1f2两个信号叠加起来。


这两个信号的比值是一个无理数,波形是永远不会重复的非周期波形。

如果我们用耳朵去听,这会是怎么样的音响效果呢?

这需要将f1调到261.2Hz,即中央C。那么f2对于630.6,就是那么巧,对应于小字2组的降e。这是一个八度+小三度的音程。


这件乐器的魅力在天然的爵士和声。如果我们弹一个三和弦:135,它会自动出来九弦1 3 5 b7 b3的效果。

据说曾侯乙编钟正鼓音和侧鼓应差了三度。我想即使你敲击正鼓音,侧鼓音也是会出声的,只是声音很小。如果同时敲击三个编钟,相当于有6个音出来,会不会也有类似的和声效果?不会他们也在演奏爵士乐吧?

2)考虑一个m1=m2, l1:l2=1:2的双摆,它的运动如下图所示。




f1调到261.2Hz,即中央C。那么f2等于683.8,在钢琴的键盘上没有这个音,它介于小字2组的ef之间。

虽然f2这个音不再键盘上,但它的和声也毫无违和感。

当双摆遇到李清照

这一期思绪有点穿越,从编钟到双摆。不如再穿越一下,用双摆的音色演绎一下李清照的词《如梦令·昨夜雨疏风骤》。特别荣幸能邀请到白兰淑为大家演唱这首原创歌曲。(音频从5:30开始,可以听这首歌)


如梦令·昨夜雨疏风骤

词:李清照

曲:woody

演唱:白兰淑

昨夜雨疏风骤,

浓睡不消残酒。

试问卷帘人,

却道海棠依旧。

知否,知否?

应是绿肥红瘦。

摆亦是那不舍昼夜流逝的光阴....

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4 杨正瓴 张云 吕洪波 yangb919

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