狄拉克为何说他发明的量子力学符号法是永垂不朽的？ 

范洪义

在狄拉克的晚年，他曾深情的说了如下意思的话，符号法是他的挚爱（Darling），拿什么来换都不换，符号法是永垂不朽的。那么，此话是否言过其实呢？非也，单从所花的时间来衡量， 1926年狄拉克被玻尔召到哥本哈根，针对量子力学缺乏能表现其本质的数学符号, 他花了一年时间发明了由ket-bra符号组成的体系---符号法。而狄拉克说他搞出电子的相对论方程则没费太多时间。从背景而言，符号法是总结海森堡矩阵力学和薛定谔-玻恩波函数而应运而生。

当然我们重要的需从符号法在量子力学的功能来分析。狄拉克的符号的最大优点是既能表达态矢量，又能表达引起态跃迁的算符。而态矢量是狄拉克从波函数抽象出来的，这样就有了态矢量空间，也出现了表象。具体说， 系统状态的波函数（薛定谔首先建立波动方程，其解称为波函数）看成在抽象空间中的态矢量|ψ>, ket（右矢)，在bra（左矢）上的投影，

ψ(x)=<x|┊ψ>

这一分解抽象出<x|, 其集合构成坐标表象（不是哲学意义的。在哲学范畴，表象是事物不在眼前时，人们在头脑中出现的关于事物的形象。从信息加工的角度来讲，表象是指当前不存在的物体或事件的一种知识表征，这种表征具有鲜明的形象性。）。在力学量(算符)的自身表象中，算符表现为普通数，例如坐标算符X在自身表象中表达为

 X|x>=x|x> 。

自狄拉克做出这份贡献以后， 量子力学里态和力学量成为表象（representation)的的具体表述方式，力学量的本征表象是指可以将算符用数来明确表示的"框架"。例如在坐标表象中，体系的状态是以坐标的函数（波函数）来描写的，力学量则是以作用在这种波函数上的运算（如微分运算）来表示。各种表示之间的等价相互变换则称之为表象变换，这些变换有的可以用幺正变换相联系，有的则不能。而有资格称为表象的是其必需有完备性。

狄拉克符号的另一特点是把算符写成|A><B|的形式，当A=B时，|A><A|称为纯态。物理大师玻尔说，"在量子力学形式体系中，通常用来定义物理体系的状态的那些物理量，被换成了一些符号性的算符，这些算符服从着和普朗克衡量有关的非对易算法。”

狄拉克符号的另一强大功能是可以充分利用表象的完备性做各种变换，表象变换不但能体现德波罗伊波粒二象性，还对实验有预期的指导意义。

玻尔的量子态之间的跃迁理论表明在量子论中不但要有态的记号，还要有表达从一个态到另一个态变换的运算（算符）的记号，以及表达算符。Dirac发明的符号法可以一揽子兼顾这些表示，所以海森堡很是欣赏，然而因为兼容并包，符号法也比较抽象，即便是爱因斯坦看狄拉克的文章也感到头痛，有在黑暗中摸索的感觉。

符号法的引入符合爱因斯坦的研究信条： "人类的头脑必须独立地构思形式，然后我们才能在事物中找到形式。"

初学量子力学的人要先了解量子力学的用语，即Dirac符号，如果学生们一开始就能径以Dirac符号为其思想之表象，不必要处处"译"成函数，并且学会本文作者发明的有序算符内的积分理论，那么就容易熟悉量子论的用语和表象变换（`常识'），学到一个系统，从而习惯量子力学。较自然地接受量子论，所谓：习惯成自然。

总之，狄拉克的符号法. 用简洁的符号统一了海森堡的矩阵力学表述和薛定谔的波动力学表述，有平淡简洁的特点. 牛顿曾说，"寻求自然事物的原因，不得超出真实和足以解释其现象者。" 在另一场合，他又说："自然界不做无用之事，若少做已经成功，多做便无用"。所以，平淡出于自然、无雕琢之痕迹的狄拉克符号法确能享受永垂不朽之“香火"。

至于进一步发展符号法，其内容能续写半部量子力学数理基础，超出本文范围了。