无限的定义和分类

                      ----兼谈芝诺悖论、对角线问题和林益先生提出的两个问题

摘录：聪明的芝诺给数学家们设计了一个陷阱，使其陷在里面长达2500年跳不出来，不知道应该赞扬古人的智慧还是应该批评现代人的糊涂？

摘要：本文给出了无限的定义：可以不断延伸的有限，并首次给出了真假无限的概念，从而很好地解释了潜无限和实无限各自的适用范围：真无限是潜无限；假无限是可以看作实无限的潜无限。本文同时讨论了芝诺悖论、对角线等问题：产生芝诺悖论是混淆了主观和客观的区别所致，对角线问题则是将有限和无限割裂开来所致。本文同时对是否有必要在集合论中引入实无限作了讨论。

1   无限的定义和分类

从实践的角度来看，人们实际进行的数学计算都是有限的。例如，刚学会计数时，十个手指就够用了，即计算的上界为10。以后该上界逐渐增加。例如，常温常压下，22.4 升的气体中，分子的数目有6.023*10^24 之多。这是一个很大的数，远远超出了一般人的想象。由于上界被不断突破，聪明的人们会想，增加到什么程度是个头啊？于是就提出了没有上界的无限这一概念。

因此，从数学史和人类的实践活动来看，无限不过是无上界的有限，或者说是有限的不断延伸。

无限的定义：不断延伸的有限称为无限。

既然有限的延伸是“不断”的，即没有终点，延伸过程就是不能完成的，所以

命题1（无限的性质命题）：任何无限都是不能完成的。

无限虽然不能完成，但聪明的人们会想，能否找到一种方法，把无限化为有限？这种另辟蹊径的方法显然很聪明，且有时还确实成功了（例如可以精确表达的极限），但也并不是一定有效，所以就产生了两种不同类型的无限：

真无限：无法转化为有限的无限。

假无限：可以转化为有限的无限。

假无限虽然仍然可以表示为无限的形式，但由于无限的结果可以用有限的方式求出（真无限做不到这一点），实际上已经不是一种无限了。

当然，这两种无限的分类并不一定是绝对的，例如，随着理论的发展，某种真无限有可能会变为假无限。

无限虽然不可能完成，但对假无限来说，可以用有限的方法得到完成了的无限的结果，这样，对假无限来说，无限似乎又变得可以完成了，所以又可以将无限分类成：

潜无限：无法完成的无限。

实无限：可以完成的无限。

但由命题1可见，任何无限都是不能完成的，所以任何无限都是潜无限，而所谓实无限，只不过是适用于假无限的一种想象或假定而已。

2  一些进一步的讨论

    命题 2：如果一个命题在有限时不成立，则在该有限的不断延伸即在无限时也不成立。

证明：由于无限是有限的不断延伸，故在不断的延伸过程中始终是有限过程。因此，如果一个命题在有限时不成立，在该有限的不断延伸即在无限时也不成立。

    命题 2 虽然简单，但却可以将无限问题化为简单的有限问题，从而可以排除很多错误。

    例如，虽然对角线法证明实数不可数是在无限情况下进行的，但根据命题 2，首先必须考察其在有限情况下是否能成立，而在有限情况下，n位小数可以有10ⁿ个实数，只能形成一个行列不等的长方形，无法在上面建立对角线。

例如，在[0，1）内可以有从0.00到0.99的一百个两位小数:

    0.**

    0.**

    0.**

    0.**

    0.**

    0.**

    ……

怎么可能形成对角线？

    显然，无论n多么大都是这样，即在n趋于无限时，得到的也只是一个趋于无限大的长方形，始终形不成对角线。所以对角线法不能成立。

可能有人认为可以通过在小数后面补零使其变成正方形，但这个零也可以是非零数，因此，每增加一个零，等于是增加了一位小数，相应的实数就要增加10倍，所以补零并不解决任何问题。

其实，在本文的无限定义下，无限小数的可数性是不证自明的：既然有限小数是可数的，例如，[0，1）内，n位小数有10ⁿ个小数，而无限不过是有限的不断延伸，但再怎么延伸还是有限的，因此始终是可数的。

另一个例子是与我一样坚守严格思维的林益先生提出的，见

 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1218680，

    林益先生提出的一个问题是这样的：

    设

S=1+2+2²+2³+  …            (1)

则

2S=2+2²+2³+…               (2)

(1)-(2)得-S=1, 即

-1=1+2+2²+2³+…(3)

造成矛盾！

在这里，由于(1)、(2)都是无限过程， (1)-(2) 自然也是无限过程，根据命题2，首先必须考察有限时的(1)-(2)，然后才能观察趋于无限时的情况：

S=1+2+2²+2³+…= Σ2^k (k=0 to ∞)    (1')

则

2S=2+2²+2³+…   Σ2^k+1 (k=0 to ∞)   (2')

k=0 to ∞ 时，(1)-(2)得

-S= Σ2^k -Σ2^k+1=Σ(2^k-2^k+1) =Σ2^k(1-2)=-Σ2^k≠1    (3')

    在上述推导中，其实是先研究有限时(1)-(2)式的前k+1项的通式，然后再观察无限时的情形，符合命题2，所以没有发生错误。

命题 3 真无限是潜无限。

证明：真无限不可以转化为有限过程，故必须通过无限次步骤才能完成，而无限次的步骤是不可能完成的，所以真无限是潜无限。

例如，数列

3，3.1，3.14，…….

虽然我们知道其极限是一个被称为圆周率的无理数，但至少到目前，该无理数的精确值必须通过无限次的计算才能得到，而无限次的计算是完不成的，所以该精确值是我们永远无法知道的。

这里要注意的是，“不知道”和“不存在”是两回事。仍然以圆周率为例，虽然我们并不知道其精确值，但并不意味着该精确值是不存在的。事实上，圆周率的定义“周长除以直径”保证了其存在性。

类似的情况也可见于所谓芝诺的善跑者阿基里斯追不上乌龟的悖论。

其实，在现实生活中，追赶并不需要无数次才能完成，而是一次性的。因此，将其变成无数次才能完成的描述只是人们的一种主观活动，或者说是一种算法。既然只是一种算法，就只能从计算的可靠性和准确性等角度来对其进行考察：

假定乌龟的速度是v₁，阿基里斯的速度是v₂，其比值m= v₁/v₂1，初始时，两者的距离为s，不难证明，完全按照悖论的推导思路可以得出无数次追赶所需的时间为收敛的无穷幂级数

(s/v₂)*(1+m +m² +m³+…)= (s/v₂)/(1-m)

这里，左端的每一项就是阿基里斯追乌龟时到达乌龟原来位置时所需要的时间，例如，第一次要用v₂的速度跑距离s，所以需要的时间是s/v₂，第二次跑的距离为ms，所以需要的时间是ms/v₂,……

由该式的左端来看，如果是真无限，就需要无数次的计算才能完成，而无数次的计算是永远完不成的，所以人们对阿基里斯是否能追上乌龟产生了疑问。

其实，即使我们因为1+m +m² +m³+…是无法完成的真无限（其实是一个假无限）而“不知道”其精确值，也不等于该值是“不存在”的，而既然所需要的时间是存在且有限的，怎么会追不上？

   计算次数是无限的不等于计算结果也是无限的。前者不过是一种主观的计算方法，后者才是客观的。不能因为主观计算不能完成而认为客观过程也不能完成。这完全是两回事！

    因此，所谓芝诺悖论，本质上不过是混淆了主观与客观的区别而已。

这里可再次看到，所有的数学悖论，都不过是人类的思维不够严密，混淆了各种概念所致，芝诺悖论也不例外。悖论只不过是人的主观思维不严格造成的，没有客观性，所以排除悖论可以使人的思维严格化，少走弯路。

聪明的芝诺给数学家们设计了一个陷阱，使其陷在里面长达2500年跳不出来，不知道应该赞扬古人的智慧还是应该批评现代人的糊涂？可怜的数学家们！

命题 4 假无限是一种可以视作实无限的潜无限。

证明：由于任何无限过程都是不可能完成的，所以假无限也是一种潜无限。不过，由于假无限可以转化为有限过程，所以可以知道无限的终点是什么，所以假无限是一种可以视作实无限的潜无限。

这里要特别注意的是，由于任何无限过程都是不能完成的，所以认为无限可以完成的实无限只是一种想象或假定。这种想象或假定并非毫无意义，例如，由于无限不能完成，单调数列的极限是达不到的，但这并不妨碍我们想象：“如果无限可以完成，极限就可以达到了”，尤其对于其精确的极限值已知的假无限，这种想象或假定是可以变成现实的。不过，从理论上来说，想象毕竟是想象，假定也毕竟是假定，就不能将它与现实世界完全等同起来，而应该时刻警惕因想象与现实的区别而可能存在的误差甚至错误。

    例如，由于无限的结果不可知，（1）（2）显然都是真无限而不是假无限，因此不能将其当作实无限来处理。若将即(1)(2)式都看作是完成了的无限，当然可以作为整体然后再相加或相减，会导致林先生所示的错误。该错误是实无限观不能用于真无限的一个反例！

林先生还提出了一个问题：0.999…=1是否成立？

这个问题虽然看似简单，但其实对该问题的研究历史很悠久，实际上也没有完全统一。这是因为，如果早就有了统一的见解，也就不会再有研究甚至争论了。曾经有人在一个学术刊物上发表过一个统计结果，不同的意见大约各占50%。

对数列 0.9,0.99,0.999, ….          （3）

数列各项的下标n正好等于各项的小数 位数，n→∞ 时该数列的极限等于1。

    极限的N-e定义是建立在潜无限基础上的，但所求的结果即极限却是假定无限已经完成时的值，因此，求极限本身就是将无限化为有限的一个过程，或者说是将真无限化为假无限的过程。

任何无限循环小数都是有理数，因此都可以化为分数，这也说明了是一个假无限。

不过，小数的位数永远只能用自然数来表示，而自然数永远是有限的，因此，所谓无限小数，其实不过是位数没有上界的有限小数，本质上仍然是潜无限小数。而小数位数已经达到无限的小数，即所谓的实无限小数，只是一种想象，在现实世界中并不存在。当然，数学并不排斥想象，因此，实无限可以存在于人们的想象中，实无限小数也不例外。

总之，在现实的潜无限世界中，0.999…<1, 而在人们想象的实无限世界中 0.999…=1

    由于n→∞ 时数列（1）单调递增，由数列极限理论也证明，该数列实际上只能无限接近但不能达到极限 1。

虽然有多种方法可以“证明”0.999…=1，基于这些“证明”还很容易构筑将无限循环小数转化为分数的方法。但实际上这些证明和方法对现实世界的潜无限小数都不成立。例如，一种众所周知的“证明”方法是

∵S=0.999...,∴10S=9.999...,两式相减得9S=9,即S=1

如前所述，潜无限小数不过是小数位数没有上界的有限小数，因此对潜无限小数，必须先研究有限的情况，然后再观察趋于无限时的情况，才能一清二楚。

用该法对上述证明进行考察，不难发现，在有限的情况，上述“证明”显然并不成立：

设S有n位小数，乘以10 之后的10S就只有n-1位小数了，因为n不等于n-1，10S-S的小数不会全部消去，”证明”不能成立！

    再观察小数位数n趋于无限时的情况：由于 n虽然可以趋于无限但永远达不到无限，而无论n多么大，10S-S的小数部分总是不能完全消去，故上述“证明”对潜无限小数永远不能成立。

    不过，由于10S-S是一个随着小数位数n的增加而趋于零但不等于零的无穷小量，所以，如果假定无限可以完成，则该无穷小量就变成零，证明就成立了。

所以，该证明只能在实无限假定下才成立，而在实无限假定下，0.999…当然可以达到极限1。

    其实，康托之所以要提出实无限观，不过是希望集合的元素数目即其基数是一个确定的数值，他认为只有这样，无限集合才能确定。而无限如果真的能够完成，其基数自然也就确定了，很符合他的希望。然而，这不过是一种一厢情愿的愿望。以自然数集合为例：

N={1,2,3,….}

    尽管康托认为它的基数是所谓的阿列夫零，但这个基数并不是一个固定的数值，甚至根本不是一个数，因此，自然数集合的元素数目仍然不是确定的。既然如此，在集合论中引入实无限又解决了什么问题呢？

    科学对于任何细微的差别都要区别。比方说真实是怎么样的，想象是怎么样的？不能混为一谈。对不同的东西，区分是一种进步，混淆则不但是一种退步，而且还存在产生大量错误或悖论的潜在可能性。

可惜，在康托等人的熏陶下，现代的人们已经习惯了各种概念混淆，习惯了悖论，甚至存在着将悖论客观化或合理化，以悖论为出发点来做学问的倾向，不能不说是一种思维方式的极大退化！

3 小结

    本文给出了无限的定义并给出了真假无限的概念，从而很好地解释了潜无限和实无限各自的适用范围，或许会终结长期以来实无限和潜无限的争论。本文同时讨论了芝诺悖论、对角线等问题，给出了本文无限定义下的无限小数的可数性证明，或许会宣告超穷数理论和连续统假设的破产，同时对是否有必要在集合论中引入实无限概念作了讨论。