所谓悖论，就是自相矛盾，在逻辑上是绝对不允许的。因此，任何一门学科，如果还存在悖论的话，只能说明这门学科还很不成熟，需要大力发展。      

在《悖论的非客观性》^【1】一文里，我曾经说过：只要概念、思维清楚，任何悖论都是可以消解的，甚至根本就不应该出现。

因此，所谓悖论，都是概念或思维不清楚造成的，并不具备客观意义。所有将悖论客观化，学术化的做法都是错误的。

数学悖论也不例外。

也就是说，只要概念、思维足够清楚，根本就没有什么数学悖论。

这么说数学家们可能很不服气：你这不是在说我们的概念、思维不清楚吗？

以下通过分析一些具体例子，看能不能让数学家们心服口服？

1）谷堆悖论                                                                  

1粒谷形不成堆，2粒谷形不成堆，3粒谷形不成堆.....何时才形成谷堆？

数学家对数字是敏感的，因此对这个悖论，很多人数学家就倾向于像给特定高度的人制定一个肥胖标准一样，规定到多少多少粒算堆就可以了。

然而，这样考虑问题太不合理了：比如10000粒谷算堆，9999粒谷不算堆？

也有的人倾向于用模糊数学的隶属函数来解决这个问题，但也存在着如何划分界限的问题。

很多数学家认为，数学是自由的，只要自洽，我爱怎么定义是我的自由，别人管不着。这种想法很幼稚:人类之所以要定义某一个概念，是因为要将某个事物和其他事物区分开来 以便于研究。胡乱地定义能做到这一点吗？

事实上，任何一门新兴学科，它的基本概念的定义往往都有很多版本，然后还要争论不休。如果定义是自由的，有必要争论吗？

以信息学为例，经过那么多年发展，信息的定义仍然没有统一。 即使是被视作经典的定义，至少也有香农和维纳的两个版本。

在日常生活中，堆是必须能够分层的。因此，哪怕只有三粒，如果能形成品字形的两层，就不能不说是一个堆；相反，如果不能分层，哪怕有一万粒平铺着的稻谷，都不能算堆。

所以，这里的关键在于要有关于堆的明确且合理的定义。如果做不到这一点，则说明概念不清楚，出现悖论奇怪吗？

【1】李鸿仪. 《悖论的非客观性》

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（待续）