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假设有一个无穷大的花瓶,并且假设有无穷多个球,每一个球都用自然数编号,执行下面的操作:第一次,往花瓶里放进1至10号球,同时取出1号球;第二次,往花瓶里放进11至20号球, 同时取出2号球.....,无穷多次这样的操作之后,花瓶里有多少个球呢?
小学生是很容易回答这个问题的:每次相当于放进了9个球,第n次操作后,剩下的球的数目是9n个,所以n趋于无限时,有无穷多个球。
但有的数学家是这样算的:第1次拿出了1号球,第2次拿出了2号球,无限次后,所有的球都被拿出来了,所有最后没有球。
于是似乎形成了悖论。
然而,第2种算法显然是错的:拿出1号球的时候,2号到10号的9个球并没有拿出来;拿出2号球的时候,3号到20号的18个球并没有拿出来....... 拿出n号球的时候,n+1到10n的9n个球并没有拿出来, 即拿出任意编号的球的时候,总有更大编号的球是没有拿出来的。
为什么数学家的计算还比不上一个小学生呢?
在数理逻辑中,实际上是默认了以下逻辑规则:如果某一性质对集合中的任何一个元素都成立,那么该性质对集合中的所有元素都成立。所以在数理逻辑中,“任何”和“所有”是不加区分的,都用同一个符号"表示。所以第2种算法就是这样来的:既然“任何”球都能被取出,那么“所有”球都能被取出来了。
至少在该逻辑规则下,这个推理一点问题都没有。
所以我们不得不怀疑这个逻辑规则本身是不是正确?
至少对于无限集,这个规则不一定成立:无限集的元素是不可穷尽的,因此我们实际上只能研究其中一部分元素,我们所谓的“任何”,其实也就是对于这一部分元素中的”任何”一个,未必能够推广到无限集的所有元素。
在花瓶悖论中,所谓任意一个编号为n的球都能够取出,其实只穷尽了编号小于等于n的球,并没有穷尽到大于n的球,怎么能够推广到无限集的所有元素呢?
当然这个n是可以任意大的。但是再大又怎么样呢?总还有更大的吧!
类似的例子还有:虽然可以写出任意大的自然数,但总还有更大的自然数是没有写出来的,所以尽管可以写出任意一个自然数,但不可能把所有的自然数都写出来。
在这里,任意也不等于所有。
再例如,可以证明,假定为可数的实数是列不完的,所以在没列完的实数中找到一个还没有列出来的实数,非常正常,完全没有任何矛盾,也证明不了任何东西。
某名人说过,在逻辑和事实面前,我更相信逻辑。
这个是不是太蠢了?
逻辑是什么?会从天而降吗?
所谓逻辑,本质上不过是能够指引人们在实践中获得成功的思维习惯及其传承,是人们后天获得的。人们之所以相信逻辑,在于且仅在于逻辑很少带领人们得到错误的结论。而一旦逻辑确实使人们在实践中碰壁,对不起,得改。
所以如果逻辑规则都有问题的话,根据逻辑进行的推理,又有多少可靠性呢?产生悖论又有什么奇怪呢?
所以,数学家们不应该盲目迷信逻辑,而是更应该看看事实。
或许能一劳永逸的方法是当逻辑规则发生错误的时候,修改逻辑规则,以避免将来再发生类似的错误。
例如,在数理逻辑中,必须增加一个专门表示“所有”的符号,以便于与“任意”加以区分。
这样一来,整个数学都要重新考察,或许一个新的纪元会开始?
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GMT+8, 2024-4-19 15:57
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