假设有一个无穷大的花瓶，并且假设有无穷多个球，每一个球都用自然数编号，执行下面的操作：第一次，往花瓶里放进1至10号球，同时取出1号球；第二次，往花瓶里放进11至20号球, 同时取出2号球.....,无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？

小学生是很容易回答这个问题的：每次相当于放进了9个球，第n次操作后，剩下的球的数目是9n个，所以n趋于无限时，有无穷多个球。

但有的数学家是这样算的:第1次拿出了1号球，第2次拿出了2号球...第n次拿出了n号球，无限次后，所有编号的球都被拿出来了，所以最后没有球。

于是似乎形成了悖论。

然而，第2种算法显然是错的：拿出1号球的时候，2号到10号的9个球并没有拿出来；拿出2号球的时候，3号到20号的18个球并没有拿出来....... 拿出n号球的时候，n+1到10n的9n个球并没有拿出来, 即拿出任意编号的球的时候，总有更大编号的球是没有拿出来的。

只看到球拿出来，没有看到球放进去，这也太扯了吧？

为什么数学家的算法还比不上一个小学生呢？

在数理逻辑中，实际上是默认了以下表面看来是天经地义的逻辑规则：如果某一性质对集合中的任何一个元素都成立，那么该性质对集合中的所有元素都成立。所以在数理逻辑中，“任何”和“所有”是不加区分的，都用同一个符号"表示。第2种算法就是这样来的：既然“任何”编号的球都能被取出，那么“所有”编号的球都能被取出来了。

至少在该逻辑规则下，这个推理一点问题都没有。

所以我们不得不怀疑这个逻辑规则本身是不是正确？

至少对于无限集，这个规则不一定成立：无限集的元素是不可穷尽的，因此我们实际上只能研究其中一部分元素，我们所谓的“任何”，其实也就是对于这一部分元素中的”任何”一个，未必能够推广到无限集的所有元素。

在花瓶悖论中，所谓任何一个编号为n的球都能够取出，其实只穷尽了编号小于等于n的球，并没有穷尽到大于n的球，怎么能够推广到无限集的所有元素呢？

当然这个n是可以任意大的。但是再大又怎么样呢？总还有更大的吧！

类似的例子还有：虽然可以写出任意大的自然数，但总还有更大的自然数是没有写出来的，所以尽管可以写出任何一个自然数，但不可能把所有的自然数都写出来。

在这里，任何也不等于所有。

再例如，用对角线法可以证明，与自然数一样^【1】，虽然可以列出任何一个实数，但是不可能列出所有的实数，即假定为可数的实数是列不完的。所以在没列完的实数中找到一个还没有列出来的实数，非常正常，完全没有任何矛盾，也证明不了任何东西。也就是说，对角线只能证明实数是列不完的，并没有证明实数是不可数的^【1】。

某名人说过，在逻辑和事实面前，我更相信逻辑。

这个是不是太蠢了？

逻辑是什么？会从天而降吗？

所谓逻辑，本质上不过是能够指引人们在实践中获得成功的思维习惯及其传承，是人们后天获得的。人们之所以相信逻辑，在于且仅在于逻辑很少带领人们得到错误的结论。而一旦逻辑确实使人们在实践中碰壁，对不起，得改。

如果逻辑规则都有问题的话，根据逻辑进行的推理，又有多少可靠性呢？产生悖论又有什么奇怪呢？

所以，数学家们不应该盲目迷信逻辑，而是更应该看看事实。

或许能一劳永逸的方法是当逻辑规则发生错误的时候，修改逻辑规则，以避免将来再发生类似的错误。

例如，在数理逻辑中，增加一个专门表示“所有”的符号，以便于与“任意”加以区分。

这样一来，整个数学都要重新考察，或许一个新的纪元会开始？

【1】李鸿仪.对角线讨论的终结。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/380590947

待续