张景中院士在zmn—0726（http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1312100.html）中认为，在数学中，反证法是有效的，所以认为对康托的对角线方法的质疑是没有意义的。

我赞同景中院士关于反证法有效性的论述。

然而，对于任何数学证明，无论是直接证明还是反证法，保证其绝对的严格性都是首位的。离开了严格性，一切都无从谈起。

譬如，反证法是通过假设一个命题，并据此推出矛盾来证明该命题的反命题是正确的。这当然没错。但如果推导本身不严格，例如在推导中引入了一些未必成立的其他东西，那么如何保证矛盾不是这些东西造成，而一定是假设的命题造成的呢？

文兰院士其实早已看出，对角线证明其实假定了实数是可以全部列完的。在给我的电子邮件(2020/7/30)中，文兰院士说:

==============

......如果主张“可以全部列出”，那就得列好了，不再改了，让别人来检验。如果别人再找出您遗漏了什么数，您可不许说“噢，我还没列完呢，我还要加上这个数”。

 康托就是这样证明的。他用反证法，假设实数可以一一列出。也就是说，他请对手排好一个数列，不许再动了。然后康托根据对手的这个数列，指出它漏掉了某个数。这就完成了反证法。这时对手不许说，“噢，我还没列完呢，我还得加上这个数。”这不符合规则。

 您仔细看看康托的证明，是不是隐含这个“定好就不许改”的规则。

==============

显然，康托的证明中，确实存在着根据 “可以全部列出（实数）”这个“主张” 而给出的“定好就不许改”这一隐含规则。

这里，所谓列出，是指在纸上，计算机的屏幕或内存中，或人的脑海中，给出某一个实数的具体数值（例如3.14159......）或其符号（例如π）的过程。

为了叙述方便，我把文兰院士所指出的这个隐含假定更明确地写成如下命题并予以证明：

命题1 康托对角线证明成立的必要条件是在可数假定下，实数是可以全部列完的。

证明 如果在可数假定下，无法列完实数，那么，用对角线法找出一个还没有列出的实数就很正常，并没有形成任何矛盾，反证不成立。所以，能够将实数全部列完，是康托对角线证明能够成立的必要条件。证毕

由此可见，用对角线证明实数不可数时，其实有两个假定，一个是可数假定，另一个是可列完假定。既然存在两个假定，导出矛盾后，如何保证矛盾一定是由其中的可数假定产生的!？这种所谓的“证明”，不要说绝对的严格了，根本就毫无严格性可言！

事实上，由命题1的证明过程可见，在可数假定下，如果实数是列不完的，并不能导出任何矛盾，所以矛盾只能源于可列完这一假定。这样，我们已经证明了下述命题。

命题2  可数假定下，不可能列出[0,1）内的全部实数。

证明  可数假定下，假定能列出[0,1）内的的全部实数，则列出后可用对角线法得到一个不在所列的[0,1）内的新实数（具体方法想必业内人士都非常熟悉，故略），矛盾。证毕

由命题2可见，命题1所要求的对角线证明成立的必要条件不满足，故对角线并没有证明实数不可数。

可惜的是，文兰院士虽然看到了命题1这个额外的隐含假定，但并没有仔细考察该假定是不是正确，而是理所当然地把它当成是正确的东西来接受，从而没有进一步得到命题2并据此发现对角线证明实数不可数中的不严格之处。

其实，所谓可数，是指可以与自然数一一对应。因此，在可数假定下，如果实数不能全部列出，那么与此一一对应的自然数也不能全部列出，于是又可证与命题2等价的以下命题：

 命题3：不可能列出全部自然数。

证明 假定可以列出全部自然数，则可将自然数从小到大全部列完，并将最后列出的自然数加1，又得到一个新的自然数，与已经将自然数全部列完这一假定矛盾，证毕

只要承认自然数是列不完的，即无法列出全体自然数，就等于承认对角线错了，也就承认了现在的整个数学基础中建立在实数不可数基础之上的所有东西都错了。这是因为，既然自然数是列不完的，那么与此一一对应，即假定为可数的实数也是列不完的，而既然实数是列不完的，用对角线方法找出一个还没有列出的实数就很正常，构不成任何矛盾，反证法不成立、

在我看来，事情就是这么简单，全世界主流数学界全部都错了，而且错得很离谱。难怪某著名数学家曾经说过，我们的后代会认为，数学病了。而在我看来，不但病了，而且病得不轻。

从以上讨论可以看出，对角线真正证明的是实数列不完这一性质，并没有证明实数不可数。

康托本人和全世界主流数学家一个多世纪以来都搞错了一个问题，就是把“可数即可列”与“可列完”这两个不同的概念混淆起来了，误以为可列就是可列完。而事实是，不要说实数，就是可列的自然数也是列不完的。

上述推导已经发表在国外的预印本网站^【1】，当然，如果认为上述推导有问题，欢迎景中院士或其他业内人士批评指正。

进一步讨论

关于命题1-3，或许还可以做一些扩展性的、深入的、未必一定成熟的讨论。

1) 假定列出每一个自然数所需要的时间是零秒，即我们只需要零秒就可列出无限多个自然数。但根据命题3，我们仍然不能说这时候已经列出了所有的自然数。具体来说，同样在零秒，即使已经列出了无限多个自然数，但根据命题3，我们仍然可以不断地列出更多的自然数，永无止境！

为了叙述方便，不妨将能够列出无限多个数，或能够进行无限次计算等，称之为已经达到无限。

上述思想实验说明:无限不能完成即不能结束但在特定条件下可以达到。这是科学的无限观，在一定程度可以统一实无限观和潜无限观，同时摒弃它们各自的错误或缺点，即摒弃实无限观的无限可完成错误和潜无限观中不太方便的无限永不可达性，同时也能完满地最终解决芝诺的追赶悖论：芝诺只证明了在有限次内是追不上乌龟的，并没有证明无限次也追不上乌龟，而有限次追不上不等于无限次追不上。

这里无限能不能达到主要取决于列出或计算等动作是不是需要时间？如果假定列出自然数是需要额外时间的，那么在有限的时间内通常就只能列出部分自然数。但并不是所有的动作都是需要时间的。例如，除了最初几位之外，无限循环小数的计算结果是已知的，实际上是不需要花时间计算的，因此这时无限就是可以达到的。但如果计算需要时间，就无法保证无限一定可达。例如，圆周率的每一位都需要计算，而且小数位数越后，计算所需的时间通常越长，只要这种局面不改变，那我们就永远达不到无限。

总之，无限可能达到，但永不能完成，而通常把达到和完成混为一谈，应该是一种概念混淆。

        2)命题1到3都是严格根据逻辑来得出的,而且也符合事实。除非能够从逻辑上推翻它们，或者给出与此相悖的事实，否则就难以否认它们。比如说，如果规定集合的元素是确定的，不增不减的（zmn0729），那么，集合论就不一定适合于描述实数或者自然数。这是因为，根据命题1和3，自然数和实数都是列不完的，很难将它们削足适履地硬塞进一个不变的集合内。

削足适履是一种用一些未必成立的东西例如主观愿望强行修改事实的反科学、反智的行为：事实是能够被主观愿望所改变的吗？比如说，为了计算方便，我希望地球是方的，然后地球就变成方的了？这还不够反智吗？

当然，如果修改集合的定义，例如，引入弹性集合概念的话，则另当别论。

---------------

在笔者看来，数学基础中存在着大量的错误和自相矛盾的东西,对角线只是冰山一角。大量因思维不严格而导致的各种悖论^【2-5】也表明了这一点。。

        我总觉得，现在的科学虽然其内容越来越丰富，技术的发展也日新月异，但就思想方法尤其是思维的严格性来说，似乎有倒退甚至退化的迹象，实际上还远不如古希腊的欧几里德时代。甚至。在一定范围内还存在着不同程度的反智现象。例如，一个真正严格的东西，比如说勾股定理，是不大可能会有人一代一代地长期质疑的，而在数学界，国内外长期以来一直有人质疑的东西，比如说实数不可数等，其地位却一直能够在主流数学界稳如泰山。更有甚者，康托甚至能够用“部分等于整体”这种荒诞不经的东西对数学界成功洗脑。在我看来，这种洗脑术与“政治正确”洗脑下的男女同厕，为了捍卫民主自由的价值观而抗议戴口罩，喝消毒水，以己度人地把从来不侵略他国的中国当成威胁等反智行为有的一拼！。

如果说，西方文明已有种种衰退的迹象，那么，中国的科学研究又怎么样呢？

我一辈子从事自然科学研究，而且研究的范围可能比绝大多数体制内的人士要广泛一些：在不止一个领域有文章被SCI收录。我的感觉是，中国体制内的科学研究大都还没有走出模仿、学习、借鉴、引进、消化西方文明的阶段。这一阶段当然是需要的，但不能一直停留在这一阶段：学习消化的目的是发展和超越，而发展和超越需要居高临下的批判性思维，而国人恰恰在这方面是十分缺乏的。例如，当觉得西方文明中存在着种种荒谬和错误时，处于学习阶段的我们可能会这样想：外国的权威怎么可能错呢？肯定是自己搞错了，或者是自己学得还不够，还要加强学习？在这种思维模式下，往往不是去积极主动地发现问题，解决问题，而是去有意无意地回避问题、掩盖问题，甚至还认“贼”作“父”，把错误当真理，漠视甚至排挤、打压拒绝被洗脑人的质疑声音，从而延缓了国人发展和超越现有人类文明的进程。

以中国人的智商、智慧和国家近年来的发展势头，其实是可以重振，改写人类文明史的：一旦解放思想，中国人会迸发出难以想象的智慧。仅以我个人为例，虽然并非数学专业出身，但却能够轻而易举地指出数学中的许多错误，何况专业人士？但可能长期以来习惯了崇洋媚外的学术氛围，似乎还鲜有业内人士想到并做到这一点。

因年龄关系，我早晚会“退隐”。在我正式退出“学术江湖”之前，写下这些，如果有人能看到并重视，也算我这几年没有白忙了。