数列极限的可达性证明及其应用（修改稿）

李鸿仪leehyb@139.com

传统数列极限理论只讨论了数列项趋向于无穷的情形，这时，数列只能无限接近而不能达到极限。本文讨论了数列项达到无穷时的情形，且证明了在这种情形下，极限是可以达到的。

众所周知，对数列

a₁，a₂，a₃……                （1）

其极限的定义为:

定义1设A为定数，对任意给定的ε>0，总存在正整数N，当n﹥N时，|a_n-A|<ε，则称A为该数列的极限^【1】。

其中，虽然ε可以任意小，但由于数列极限定义只讨论了ε>0的情况，所以通常认为极限是只能接近而不能达到的。

其实，某些特殊的数列是能够达到极限的，甚至可以只要有限项就可以达到极限，例如，陶哲轩在《陶哲轩实分折》一书中就给出了类似于

1，2，3，3，3，3.......                     （2）

的数列，显然，该数列从第3项开始即达到了极限3。

但数列

(1-1/2¹)，(1-1/2²)，(1-1/2³)...........       （3）

或

1,1/2，1/3,1/4..........                           （4）

却不可能在有限项内达到极限。

定义2将极限存在但不能在有限项内达到的数列称为有限项不可达数列。

若不特别注明，本文的后续部分只讨论这一类数列。

由于在数列极限的定义中，N是一个有限的实数，而n只要求比N大，因此也是一个有限的实数，所以数列极限是在有限的实数范围内讨论的。并没有讨论无限的情况。所以有必要研究无限的情况。

 以数列（3）为例，其通式为a_n=1-1/2ⁿ, 考虑以下思想实验，当时间t=a_n秒时，人走过的路程S=a_n米，则当t=1秒时，S=1米。但这时数列的项数已经不能用实数轴上任何一个有限的自然数来表示了。

在有些场合，无限也是能够即刻达到的。例如，当我们用竖式计算1÷3时，只要几步，我们就知道了任意一位小数都是3。这时候我们不可能用任何一个自然数来表示小数的位数，且知道小数的位数比任何自然数都大，不妨用∞表示之。

定义3，若某一个数不能用实数轴上任何一个有限数来表示，即该数比实数轴上任何一个有限的数都大，则称该数是无限数，用∞表示。

由上面的思想实验可以看到，当t=1秒时，数列的项数达到了∞项，且这时极限1也达到了。

对数列(4)可以得到类似结论:如果t=1-1/2ⁿ秒时，a_n=1/n，则t=1秒时，数列项数也达到了∞项。

 这时，如果达到无限的数列项值>0，则根据（4）的通项知，n=1/数列项值∈R，说明这是有限项的数列，矛盾。因此，对达到无限的数列项，其值必已达到了极限0。

以上结果可以推广到一般情形。

定理1，设数列（1）存在极限A，当其有∞项数列时，可以达到极限A。

证明 当数列(1)存在极限A时，定义误差函数e(n):=|a_n-A|，当其有∞项数列时，根据定义3，不能用任何n来表示无限项的项数，故用e_∞:=|无限项值-A|来表示无限时的误差函数。设用分段函数e来统一表示无限和有限时的误差函数，根据定义1，n趋于无限时，lim e = 0，即误差函数是可以随着n的增加而下降的。不妨称误差函数的该性质为可下降性质。由于对任何 n 和 N，都有∞>n>N（定义3），故对任何有限的e(n)>0，根据误差函数的可下降性质，都可有e_∞<e(n)成立。现在假定e_∞>0，根据定义1，总存在正整数N，当n﹥N时，e(n)< e_∞，即达到无限时的误差反而比有限时更大，与误差函数可下降性质矛盾，故只能e_∞=0，证毕。

这里要注意的是，定理1是在假定数列项数已经达到无限项时才成立的。这在某些情况下是有意义的。例如，在上述思想实验中，1秒后就分别达到了极限1和0。但如果只有n项，哪怕是再大的n，也是有限的，这时候，任一数列项就只能接近而不能达到极限了。

极限虽然可以达到，但并不等于我们在任何地方都可以直接用极限值。以无穷小量为例，它的极限是0，但在某些场合，我们并不能把它当做0来处理，例如，出现在分母上的无穷小量，通常就没法把它当做0来处理。

再例如，在我前一篇博文中证明了，当无限循环部分已经确定时，两个有理数之间的最小间距为:

d≈0.1^y           (5)

其中y=max(m₁，m₂)，而m₁，m₂分别为两个有理数不循环部分小数的位数。

由该式可见，有理数的最小间距随y的增加而变小，这就是所谓有理数具有稠密性的原因所在。但对于有理数来说，不循环小数位数是有限的(否则就变成无理数了)，所以有理数的间距虽然可以缩小，但永远达不到零。也就是说，我们不能把d看作是一个无穷小量，否则就与定理1矛盾了。

因此，有理数虽然是稠密的，但之间永远有空隙，这也是引起第一次数学危机的原因。该危机虽然已经距今两千多年了，但在(5)式问世之前，实际上并没有人能真正解释其原因。

由此也可见，如果闭区间的端点都是有理数，那闭区间定理是不成立的。

如果一定要把d看成无穷小量，那m₁和m₂中至少有一个必须是无穷大，也就是说，两个数中间至少有一个是无理数。

因此，如果闭区间的端点至少包含一个无理数，那闭区间定理是可以成立的。

这也告诉了我们，无理数之间，或无理数与有理数之间的最小距离d是一个极限为0的无穷小量。因此无理数的稠密性是远远高于有理数的:相对于无理数来说，有理数简直就是非常稀疏的。这就再次验证了笔者多次证明过的“任意两个有理数之间都有无数个无理数”，这是因为，有理数之间的空隙不是无限小，而是有限小，而有理数和无理数之间，以及无理数和无理数之间的空隙是无限小的，因此任何两个有理数之间的空隙被无理数填满时，每一个空隙都可以填满无限多的无理数。这样，所谓有理数等于1，无理数等于0的函数在无理数处是处处连续的，仅仅在有理数处不连续。 戴得金的第三类有理分割也只能证明无限多的无理数的存在，并不能定义任何一个唯一的无理数。

另外，由于无理数与有理数之间的间距为无穷小，如果直接取其极限零也会产生问题:两个间距为0的数会变成一个数。

一些讨论

对于1÷3，我们只要进行了几步竖式除法计算，我们就得到了其无限位小数。本文的两个例子的共同点则是数列每增加1项所需要的时间越来越短，所以在有限的时间内也是可以达到无限的。然而，如果每增加1项所需要的时间是相同的，甚至越来越长，则至少在有限的时间内是不可能达到无限的，这也是人们通常认为无限不能达到的原因。

然而，即使是在这种情况下，也不能排斥当时间是无限时，是能达到无限的。

当然，这恐怕不一定有实际意义。以圆周率的计算为例，如果采用割圆术，那么采用同一种计算设备时，计算精度每增加一位小数，所需要的时间只会越来越长。这样，虽然现在据说已经计算到了1.6万亿位，但即使计算到太阳系不存在的那一天，也不可能达到无限位。

需要注意的是即使达到了无限，也并不意味着无限过程就结束了。以自然数数列的项数可以通过+1无限增加为例，即使采用前述方法，使得1秒后就有了∞个自然数，但时间并不会止于1秒，自然数的项数在1秒后仍然可以无限增加，也就是说无限可以达到，但永远不能结束和完成。 建立在无限可以完成假设上的任何理论都是错的。例如，由于自然数的增加过程不可能结束，从而不可能形成只有该过程结束后才可能形成的所谓全体自然数，建立在全体自然数这一不可能存在的基础上的所谓无穷公理，当然也是错的，由此产生各种悖论不足为奇。例如，假设A是包含所有自然数的集合，A₁和A₂是分别是与A一一对应的偶数集合和奇数集合，则A₃=A₁UA₂是另一个显然比A包含了更多自然数的集合，与A已包含了全体自然数矛盾，从而形成悖论。

任何一门严肃的科学都不允许任何悖论的存在，悖论只存在于那些正在发展中的，并不成熟的科学中。

所有的悖论其实都源于思维的不严谨，只要思维足够严谨，是不可能有任何悖论的。

  本文的贡献：

1 本文首次严格证明了无限项的数列可以达到极限。

2 根据笔者以前给出的有理数数间距的计算公式(5)，首次证明了有理数的间距不是严格意义上的无穷小量。该公式也可以推广用于计算有理数与无理数之间，以及无理数与无理数之间的间距，从而再次证明了有理数远不如无理数稠密，戴德金的第三类有理分割并不能定义唯一的实数。

3 首次给出了闭区间套定理成立的必要条件:趋于无限小的区间的两个端点中至少有一个是无理数。

4 证明了无穷虽然可以达到，但不能完成，所以不可能存在全体自然数，无穷公理是错的，给出了无穷公理导致的悖论。

相信数学史会客观评价这些贡献。

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【1】华师大数学系.《数学分析》第四版，高等教育出版社，2010

附录 （5）式的证明；

设两个小数a和b可在0~9内任意取值的不循环小数位数分别为m₁和m₂，不妨设m₁﹥m₂，两个小数的循环部分(如果有的话)则已分别给定，我们可以用以下方法得到a与b之间的最短距离:设a的1~m₁-1位小数与b完全相同，而a的第m₁比b的第m₁位大或小1，这时两数之间的距离为10^-m1，易证为给定条件下的最小距离。

由于循环部分(如果有的话)已分别给定，不能变化，故这时a与b的距离就只能取决于不循环部分。由于m₁>m2，故调节a中的m₁位小数能使得a，b更靠近，从而得到最小距离d。这时，如果a和b的循环部分不同，只要使得a中的1~m₁位小数与b的1~m₁位小数完全相同，即可得a和b的最小距离d，但如果a和b的循环部分相同，上述方法则会导致a=b，不再是两个不同的数，所以只能规定a的1~m₁-1位小数与b完全相同，而a的第m₁位比b的第m₁位大或小1。

例如，如果a，b两个小数的循环部分分别为111……和222……，m₁和m₂分别为1和3，即a=0.x111…，b=0.xxx222…，式中x表示不循环部分的小数，循环部分与m₁，m₂都不变时，若a=0.2111……时，最接近的b=0.211222……或b=0.210222……，即d=0.0001，与(5)式计算结果一致。

也就是说，任意两个数之间的最小距离取决于两个数的y:=max(m1，m2):  y越大，距离越短。