本文讨论的无限矩阵，是指行数和列数都是无限大的矩阵。无限矩阵在数学、物理和工程中都有广泛的应用。

无限矩阵可以是正方形的，也可以是长方形的，甚至可以是其他形状的，这取决于无限矩阵的定义和性质。

例如，对立方体x-y-z，将x-y平面的2个坐标各分成n和kn份，形成n*kn个网格。当常数k=1且n→∞时，每个网格的高度值z构成了一个无限大的正方形矩阵；当常数k≠1时，则构成了一个无限大的长方形矩阵。

再例如，如果矩阵元素

a₁₁,a_12,a_13……

a₂₁,a_22,a_23……

a₃₁,a_32,a_33……

……..

定义了一个无限大的正方形矩阵A，则

a₁₁,a_12,a_13……

a₁₁²,a₁₂²_,a₁₃²_……

a₂₁,a_22,a_23……

a₂₁²,a₂₂²_,a₂₃²_……

a₃₁,a_32,a_33……

a₃₁²,a₃₂²_,a₃₃²_……

……..

定义了一个无限大的长方形矩阵（B）。

这里要注意无论是行数还是列数，在矩阵理论中都是有明确定义的，而且无限矩阵的理论早与集合论，所以不需要甚至不能用集合论中并不可靠的基数概念来描述无限矩阵。例如B的行数是其列数的两倍，所以B是长方形矩阵，但如果用集合论中的基数理论来描述则得不到此结论，可见基数理论在解决集合论以外的数学问题中的错误和无能。笔者以为即使在集合论内部，基数这个概念也是没有必要的:可以直接从集合的定义来精确地比较集合的大小^【1】。

由于任意无限矩阵的行标和列标都是自然数集合，如果自然数集合是唯一的，那么世界上就只存在正方形的无限矩阵，而不存在长方形的无限矩阵。这就最简捷地证明了，自然数集合不是唯一的。

自然数集合的非唯一性，彻底推翻了包括对角线证明^【2】在内的等很多建立在自然数集合唯一性基础上的结论，同时证明了康托几乎所有反直觉的东西都是错误的^【3】，从而彻底改写了集合论。

例如，自然数集合的非唯一性直接证明了不存在全体自然数集合: 

如果存在两个或两个以上互不相同的自然数集合，哪一个才是全体自然数集合？

无论是认为存在着全体自然数这一概念，还是坚信自然数集合是唯一的，在传统集合论中都只是没有经过严格证明的信念甚至愿望。然而，科学不是宗教，不能建立在信念甚至愿望的基础上，而必须建立在与事实相符的严格的逻辑基础上。

除了显然正确的命题或规定外，严肃的科学怎么能够随意引入任何未经证明的命题呢？

【1】科学网—定义法比较无限集合元素数目的相对多少 李鸿仪的博文 (sciencenet.cn)

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1392283.html

【2】对角线证明中的相等性假设

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1415630

【3】自然数集合的非唯一性 - 李鸿仪的博文 (sciencenet.cn)

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1406288.html