通过将六角晶格中的次近邻复数跃迁替换成两个关联d轨道间的局域自旋轨道耦合，成功的将Haldane模型推广到了双轨道情形。该模型展示了陈数分别为c=-1, 0和2三种不同的拓扑态，其中c=-1的态完美的解释了一类二维铁卤铁磁半导体的低能拓扑激发。该模型不但将Haldane模型成功推广到了真实材料体系，同时为研究电子关联与能带拓扑之间的配合与竞争提供了一个优秀的理论平台。

定义在六角晶格上的dxy,dx2-y2双轨道量子反常霍尔效应模型。a和b分别对应于模型的实空间和动量空间；c: 拓扑相图表明该模型在大部分参数下均有拓扑性，其中c=-1的相完美解释了FeBr3的低能拓扑物理性质；d: FeBr3的实空间结构；e: 双轨道模型参数化后的FeBr3能带结果（蓝色虚线和红色实线分别对应不包括和包括自旋轨道耦合的情形)；f和g分别为FeBr3在不同U值下计算得到的拓扑边界态，表明其可发生电子关联驱动的拓扑相变。

作为量子拓扑物理最重要的理论工作之一，Haldane模型[1]首次揭示出量子霍尔效应与时间反演对称破缺之间的紧密联系，该模型在没有强外磁场情况下实现了量子霍尔态的整数霍尔电导。理论上，Haldane模型通过在最近邻和次近邻跃迁组成的封闭小区域中引入局域磁通来破坏时间反演对称性，同时通过在不同区域中选取相反磁通方向保证体系整体磁通为零。由于最近邻跃迁为正常的实数跃迁，因此次近邻跃迁就需要具有复数相位。虽然引入复相位只是一个存粹的理论假设，在真实材料中很难实现，但是该模型激发了大量针对拓扑模型的理论研究，在拓扑物理中具有十分重要的作用。

为了克服Haldane模型的人为假设，并建立对本征量子反常霍尔效应材料体系的真实描述，上海科技大学李刚课题组从理论上将Haldane模型推广到了自旋完全极化的双轨道情形。他们特别考虑了过渡金属元素的dxy和dx2-y2轨道组合，它们之间存在有限大小的局域自旋轨道耦合。这与铋烯的px-py模型[2,3]类似，即非零的局域自旋轨道耦合保证体系具有可观大小的拓扑能隙。他们通过理论计算证实，该双轨道模型实现了三种不同的拓扑项，分别对应于陈数c=-1, 0和2。该模型中所有项均具有确定的物理意义，可轻易在真实材料体系中找到对应，通过同自旋不同轨道间的自旋轨道耦合实现了拓扑相，不存在复数跃迁。因此是对单轨道Haldane模型的一次非常成功的推广，并可在真实材料体系中实现。

他们通过进一步计算发现该双轨道量子反常霍尔效应模型完美的解释了一组铁卤族铁磁半导体的低能激发，其拓扑态对应于该双轨道模型中c=-1相。通过与第一性原理计算相比较，他们进一步确定了不同铁卤化合物的模型参数，并通过计算陈数和拓扑边界态证实了该组材料体系的量子反常霍尔效应态。

更有趣的是，他们发现该材料体系中存在着由电子关联驱动的拓扑相变。电子关联可以将系统从c=-1的相变为c=0的相，同时该c=0的相中每条能带都具有非零的陈数，因此在费米面附近的其他能隙中存在着拓扑边界态。

总而言之，该工作不但将Haldane模型推广到了两轨道情形，通过轨道间的局域自旋轨道耦合实现了多种不同的拓扑相，同时证实了该模型成功的解释了一类铁卤族铁磁半导体中的量子反常霍尔态，极大地拓广了反常量子霍尔效应模型在真实材料体系中的应用。由于该模型中同时存在电子关联和非平凡拓扑性，因此该模型也为研究电子关联与拓扑的合作与竞争提供了一个完美的研究平台。

[1] D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 61, 2015 (1988)

[2] F. Reis, G. Li, L. Dudy, M. Bauernfeind, S. Glass, W. Hanke, R. Thomale, J. Schäfer, and R. Claessen, Science 357, 287 (2017).

[3] G. Li, W. Hanke, E. M. Hankiewicz, F. Reis, J. Schäfer, R. Claessen, C. Wu, and R. Thomale, Phys. Rev. B 98, 165146 (2018)

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