博文
地球自转轴倾角多大才适合恐龙生存
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4月9日我写了一篇博文“恐龙迁徙过程对地球转轴倾斜的影响”，我感觉还有一些不足。
就网友们提出的疑问，地球上每平方公里能否养活200只恐龙的问题，我一一作了回答，并在后面专门写了一篇博文“我相当于多少只恐龙”进行解释。结果那些提出疑问的网友都没有再继续提出疑问，可以证明这个观点成立的可能性还是比较大的。
我自己感觉另一个存在疑问的就是，在恐龙时代，地球自转轴倾角是否真的会比现在小？而如果自转轴倾角真的比现在小，对于全球的气候会产生什么样的影响？
这几天我做了一些计算，大致估算了一下，证实在地球倾角比较小的情况下，地球大部分陆地面积还是可以接收到更多的能量的，这当然有助于恐龙时代植物的生长，从而满足数量庞大的恐龙食用的需求。计算过程分成两部分：地球自转轴倾角对不同纬度阳光照射能量密度的影响、能量密度对植物生长的影响。
一、地球自转轴倾角对不同纬度阳光照射能量密度的影响
图1显示的的是各参数的意义。
其中β为地球自转轴的倾角。
γ为所在地区的纬度。
α为阳光照射的角度。
1.1 阳光照射角度的计算
图3中η相当于经度，R为地球半径。故由图3可以计算：
1.2 光线照射能量的估计
考虑到同样光束，照射到地球上的面积不同，则导致能量密度不同。
对于一个正方形的面积的光束，直射的时候能量密度为1，若倾斜角度为α，则受到阳光照射的形状变成长方形，其中的一边长度为：
1/cosα
则能量密度变为原来的：λ =ρcosα
T为地球公转半周的时间。则地球公转一周，单位面积接收到太阳光线总能量的计算过程：
1.3 地球自转轴倾角导致不同纬度地区一年总能量变化情况
图4显示的是不同的地球倾角，不同纬度地球接收到阳光能量密度的变化。不同颜色的线条表示不同的地球倾角。
图4 地球自转轴倾角导致不同纬度地区一年总能量密度变化情况
（横轴：纬度，纵轴，总能量密度）
从图4中可以看出在地球倾角小于45度的时候，纬度为45度以下的地区总能量密度都会随着纬度的减少而得到增加。地球倾角越小，则能量密度增加的越多。当然能量密度的增加有助于植物的生长。
1.4不同纬度地区半年能量密度变化情况
图5显示的是地球自转轴倾角为23度的时候，不同纬度地区半年内每天的能量密度变化情况。图6显示的是地球自转轴倾角为12度的时候，不同纬度地区半年内每天能量密度的变化情况。
从两个图比较来看，随着地球自转轴倾角的减少，能量密度变化曲线变得更加平缓，导致四季变化更加不明显。
图5 不同纬度地区半年能量密度变化情况（地球自转轴倾角23度）
图6 不同纬度地区半年能量密度变化情况（地球自转轴倾角12度）
二、植物的生长方程
照射到地球的阳光能量密度肯定会对植物生长产生影响，其影响如何，可以通过系列方程来进行计算。
描述细胞变化可以采用很多方程，假设n(t)为树木细胞总量，λ(t)为树木细胞生长率。而μ表示树木细胞死亡率。太阳光照射到地球上，其照射能量密度的大小导致生长生长率发生变化。
可以用如下的公式表示树木的生长过程：
如果生长率大于死亡率，则树木可以正常生长。而如果生长率小于死亡率，则树木最终死亡。除了细胞的正常死亡以外，还有其他的因素制约着树木的生长。其中比较重要的两个因素包括：
1. 树高对于水分的吸收，高度越高，则水分吸收越困难，并导致植物生长延缓。这主要影响到生长率。
2. 动物吃植物导致植物高度减少。
就第一点而言，由于树木无法将水分吸收到更高的高度，这种水分吸收的影响导致生长率的减少，这里采用一个比较简单的线性关系：
反映出如果n(t)越大，则生长率越小。当n(t)大于1/k的时候，生长率为零。
代入公式（3）得到：
这同马尔萨斯方程是一致的。
就第二点而言，动物吃食植物导致植物高度的减少，进而影响树木的大小，这可以采用Lotka–Volterra方程，结合方程（4），得到：
其中：动物数量的变化用x(t)表示。而n(t)表示处于活动状态树木细胞总数。对于某一种树木而言，树高h3=n(t)/C
如果dx(t)/dt=0以及dn(t)/dt=0，反映了所有种群处于稳定状态的情况。
此时：n(t)=b/c
这反映出树木的容积或高度只跟动物的数量以及动物吃食树木的参数有关，而跟树木本身的生长情况无关。如果动物吃食树木的速度足够快，是可以达到这样的要求的。
这一过程也可以看作动物迁徙过来以后，动物的食量非常大，可以将所有能够吃食的食物全部吃食完毕，然后动物迁徙出去（一年以后迁徙回来）。动物迁徙出去以后，x(t)为零。则方程（6）变为马尔萨斯方程。该方程的解为S型曲线。
如果取树木细胞总量的平均值作为树木的容积，则通过数值方法可以绘制出该方程解的曲线。其中各参数：
λ(t)= 2×10-4cosα(t)
μ=16×10-4
γ=4.7×10-9
则动物迁徙出去以后，树木的生长方程为：
方程（7）的数值解如图所示。图中的“树容积”为n(t)/C
图7 不同倾角纬度树木生长速度的比较
（图中，1200表示地球倾角为12度，纬度为0度，其他曲线表示方式相同）
从图中可以看出在地球倾角比较小的时候，中低纬度的树木的生长速度都显著加快，树木也可以生长的更加高大。这可以满足比目前更小的地球倾角的条件下，更加庞大的动物的食用和不断迁徙的需求。
而从我的目测观察来看，我前几个月到了柬埔寨，我发现柬埔寨一带的树木明显比广州要高，生长速度也似乎要快很多。这种区别，可以从图中的2300和2323两条曲线的对比看得出来。
三、结论
从上述分析过程来看，地球倾角对于地球不同地区能够接收到太阳的能量是不同的。随着地球倾角的减少，一个地区的四季变化将趋于不明显。地球自转轴倾角的减少，有利于纬度为45度以下的地区吸收更多的太阳光的能量。而中低纬度地区吸收能量的增加，则有利于植物的生长，从而可以支持更为庞大的动物的生存。因此对于恐龙这么庞大的动物来说，地球自转轴倾角越小，越有利于其在地球上生存。
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