博文
你想了解“泛函分析”吗？
精选
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有人说数学不是科学，我猜他想表达的是数学不是自然科学，然也，恩格斯一百多年前就表达了这种观点，他在《反杜林论》中是这样定义数学的：“数学 — 一种研究思想事物（虽然它们是现实的摹写）的抽象的科学。”这清楚地表明“数学不属于自然科学”，所以我们通常称数学为数学科学，以示与自然科学的区别。法国布尔巴基学派有一个更简明的定义：数学是“研究抽象结构的科学”。
绥阳兄的博文“物理学中第一把打开无穷维空间几何的钥匙”引来了大家对广义函数（也称为分布函数）的兴趣，也曾经有搞工程的人问我“函数的函数是什么意思”？看来“垂涎”泛函分析者不独数学家。关于广义函数理论，我曾经在国家基金委委托西安交通大学举办的西部教师轮训班上讲过一点，其讲稿作为《从大学数学到现代数学》（徐宗本主编，科学出版社）中的一章已经正式出版，该书已经再版，销量还不错。应Dummer先生的要求我将这一章的电子文稿放在了博文“你真的了解导数吗”里，有兴趣者可以参考。不过，由于是对数学教师讲的，所以数学味浓了点，远没有绥阳兄写的那么通俗易懂、生动有趣，有时间的话，我或许会来一个系统点的通俗介绍，因为写科普比写博文要费事，尽管是我比较熟悉的东西，但要写得让别人懂可不那么容易。布尔巴基学派的代表人物丢东尼（Dieudonne）写过一本书《History of Functional Analysis 》，有兴趣者可找来看看，从这本书中你可以了解到泛函分析的全貌与历史。
五年前，曾打算写一部面向工科研究生的《应用数学》，四川大学的研究生教材出版资助费都已经打到出版社了，可惜俺犯了“叛校”罪，此事就没再继续，研究生院一直向我追讨经费，真是冤枉，我并未拿一分钱，他们全给出版社了，我与出版社又没签协议，关我什么事？不过我觉得应该有这样一本比较适合工科研究生的教材，最近若干年内恐怕是没时间做这件事了。
我曾写过一本教材《实变函数论与泛函分析》（上、下册），这套书后来入选了国家“十、五”规划教材，最近再次入选“十一、五”规划，是大学数学专业使用的教材，我知道的使用者反应尚可，我且将该书的序言发在博文里，供大侠们参考、批判。
《泛函分析》序
有人说：“泛函分析似乎就是有限维线性空间及其线性变换在无限维空间的平行推广。”弦外之音不言而喻。我想，泛函分析存在和发展了差不多一个世纪，并且与如此众多的科学分支发生了深刻的联系，其重要性自不待言。其实，稍稍了解泛函分析及其历史的人都知道，泛函分析的起源来自对微分与积分方程（包括变分法）的研究，无论是其研究手段与方法，还是其高度的概括性与抽象性，都完全有别于线性代数。从大的方面看，推动它产生与发展的因素有两个，其一，“出现了用统一的观点来理解十九世纪数学各个分支所积累的大量实际材料的必要性，”使得“泛函分析的基本概念从不同的方面和不同的联系中产生了”（见《数学--它的内容、方法和意义》）。其结果是“代数和分析在方法上的统一”（Hilbert语，见《数学概观》P133）。其二，与量子力学相关的数学问题的研究为泛函分析的发展提供了巨大的动力，并逐步形成泛函分析的基本方向。诚然，泛函分析的最终发展或许与奠基者们的初衷有所差异，尽管这一理论在量子力学、偏微分方程乃至拓扑、代数等理论中有着重要的应用，但在一些重大经典分析问题面前多少显得有点软弱无力。不过，这一点也不影响泛函分析在数学与自然科学领域中的地位。事实上，泛函分析对于任何一个从事数学工作的学者甚至某些自然科学领域的研究者而言都是必备的知识。
一些人对某些学科产生这样那样的认识除了与他对理论理解的程度有关外，或许还与他所阅读的书籍有关。我们不可能指望每一个读者在阅读我们教材的同时去阅读相关的历史，因此教材到底该告诉读者什么？这是至关重要的。根据多年的教学实践，我们以为，教材不应该只是一些概念、定理及证明的堆砌，它同时还应该告诉读者为什么要做某些事？它会给我们带来什么后果？本着这一愿望，我们尝试编写了此书。但愿读者在阅读本书时能体会到这一点。
为了帮助读者理解教材内容，尽可能使理论的阐述更直观、通俗易懂些，我们注重与一些初等课程如线性代数中相应概念的类比，相信读者自能领会两者之间的异同。此外特别注重问题的提出与分析，希望从分析中寻找到解决问题的钥匙。不过由于编者的学识与功夫所限，未必能尽如人意，不足之处，欢迎行家与读者赐教。
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