这几天参加数学教育年会，聆听了几个数学教育研究报告，其中一个报告谈到了几何直观，并认为“几何直观”一词是报告人首创。

你只要在电脑里输入“几何直观”一词将会发现这个词早已充斥于各种文献中，包括线性代数的教学中，这与若干年前有人声称“数学不是自然科学”是他首先发现的一样让人觉得诧异，因为恩格斯早在《反杜林论》中就表达了这种观点，怎么忽然成了别人的发明创造？上个世纪初最伟大的数学大师希尔伯特写过一本著名的《直观几何》，虽然直观几何与几何直观有所不同，前者从字面上解释是以直观的方式呈现几何，后者则是如何直观地理解几何，但毫无疑问的是人们对几何直观的认识早就不是什么新鲜事。不过这里不想纠缠于“几何直观”的归属权问题，而是谈谈数学的“直观”与“直觉”之间的异同以及在数学教育中的作用。

在英文中，直观与直觉是同一个单词：“instinct”（刘立兄认为应为“intuition”，有匿名网友提供了Poincare的名言：“It is by logic that we prove, but by intuition that we discover”，同意他们的说法，此处用“intuition”似乎更确切），但在语义上两者有明显的差异。所谓“直观”是“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。”在辩证唯物主义著作中，“直观”通常与感性认识是一个意思，即指人们在实践中对客观事物的直接的反映。“直觉”即直观感觉，它是指“没有经过分析推理的观点，是指不以人类意志控制的特殊思维方式，它是基于人类的职业，阅历，知识和本能存在的一种思维形式。直觉具有迅捷性、直接性、本能意识等特征。”

在数学活动中，是直观重要还是直觉重要？两者是什么关系？我们在数学教育过程中需要强调什么？数学教育的目标又是什么？这些问题应该搞清楚，否则我们的数学教育方向就会发生偏差。报告者认为我们的数学教育过分强调了逻辑演绎能力的培养，忽视了分析、归纳、猜想能力的培养，这个观点肯定没错，但报告人显然没有搞清楚数学上的“直观”与“直觉”之间的关系以及过程与目标的关系。对某种现象做分析归纳，最终做出猜想属于“直观”还是“直觉”？我们数学教学中应该注重“直观”还是“直觉”？在我看来这本应该是个显而易见的问题，但不知为什么连我们的数学教育专家对此都含混不清，如何能指望中小学教师能搞清楚这个问题？

教材受其形式的局限，不可能以一种很直观的方式呈现，但直观对于理解数学概念的本质至关重要，所以，教师在课堂教学中应该强调直观而不是让学生迷失在抽象的概念之中，但直观只是过程，而非目标，是为了帮助学生更深刻地理解数学概念与理论。直观教学的目的在于培养学生的数学直觉。也就是说，教学生学会从个别现象中发现一般规律，从而大胆做出猜想，猜想正是直觉的最直接的体现。

报告者显然混淆了生活中的直觉与数学上的直觉之间的差别，我们通过与一个人的交谈，内心会对这个人产生一种观感，直观上感觉这个人是个什么样的人，这就是生活中的直觉，至于这种直觉准确与否则取决于你的生活阅历与经验以及判断能力。数学上的直觉有所不同，数学直觉与你的天赋、知识积累、研究经历、分析推理能力等都有密切关系，虽然数学直觉与逻辑演绎是两个完全不同的概念，但数学直觉不可能完全脱离逻辑演绎。事实上，任何重要的数学猜想都不是某个数学家一时心血来潮的主观臆断，而是基于他对某个理论透彻的了解、细微的观察以及一定的逻辑演绎得出的，在他提出某个猜想前，这个问题可能已经在他的大脑中经过了若干次的检验与逻辑推导，完全摆脱逻辑演绎的数学猜想也许是不存在的。从这个意义上说，数学知识的积累以及逻辑演绎能力的培养对于培养学生的分析、归纳能力是必不可少的。因此，传统的数学教育并非一无是处，否则也不会有很多国家愿意学习中国的初等教育，更愿意招收中国的学生，从全世界最顶级的大学愿意招收中国奥林匹克金牌得主就可以看到中国数学教育有它成功的一面。

但问题也是客观存在的，我们首先应该清楚，数学不仅仅是一种知识与工具，它更是一种思维方式，是培养学生如何科学、严谨地思考问题的一种载体。我们数学教育中致命的缺陷是演绎能力培养有余，直觉修养培养不足，而直觉正是发现与创造的源动力。指望在短时期内有所改观基本上不可能，除了应试教育这根指挥棒让老师们无暇思考数学教育的根本问题，同时教师的数学修养、眼界也是决定数学教育质量的关键因素。应试教育体制一日不改，中国的中小学教育做再多的改革都是徒劳的。