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[转载]同构、同态、同痕、同调和同伦有何异同?

已有 3342 次阅读 2021-12-6 14:49 |系统分类:科研笔记|文章来源:转载

同构、同态、同痕、同调和同伦有何异同?


https://www.zhihu.com/question/324440030


作者:匿名用户
链接:https://www.zhihu.com/question/324440030/answer/684838472 
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同构:英文名是isomorphism,第一次见应该是线性空间或者群论里面,讲的是(代数)结构上<两个空间>完全一样。事实上对于任何一种结构(集合,群,环,李代数,拓扑空间,k scheme等等),只要存在fg=id gf=id,就叫做同构,一样的结构。

同态:最基本的“保持”结构的<一个map>。上面同构说的f跟g都需要是这种map。

同痕:这个用的很少,在黎曼流形里面说的是每两个切向量都存在一个保持距离的map把一个map到另一个。

同调:homology。第一次见应该是代数拓扑,这个对应的是一个拓扑空间的<一些不变量群>,一般写成H_n(或者H^n上同调),用来描述n维情况下有几个洞(Z的几次方)。对于一个圆,也叫一维球面,一个洞洞所以H^1=Z,对于n维球面S^n,H^n=Z,其他(除了H0)都是0。在更一般的情况下也可以用来描述两个chain complex之间的关系,从而作为一种代数结构引出同调代数这个方向,用来定义derived functor从而把上面这套理论放在任何一个category里。

同伦:homotopic,也是在拓扑里面先有的,直观上如果可以把一个空间像捏橡皮泥一样变到另外一个,就叫同伦,是<两个空间的关系>。homotopic的两个空间有着一样的同调群。所以反过来同调研究的是一些对于“不基本的形变”不敏感的不变量群。当然也有homotopy group这种不变量,但我不太了解。

几个之间的关系:当你研究一个新结构的时候,如果能同构于一个已知的空间那最好了。不行的话,退一步,先找个保持结构的同态map到一个已知的空间,然后问这个map会不会是同伦。这个的解决办法第一步就是求同调群。如果两个空间同调群不一样,那自然没办法同伦。所以同调理论应该是目前工具最多的。举个例子,P1*P1(类似两个线的product)跟P2#P2(类似两个平面粘在一起),两个空间同调群的加法结构一样,但是同调环的乘法结构不一样,所以两个空间不是同伦的。




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