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[转载]来自戴伍圣科学网博客:复变函数提纲(2009.9.22)

已有 254 次阅读 2022-6-20 11:37 |系统分类:科研笔记|文章来源:转载

复变函数提纲

已有 6140 次阅读 2009-9-22 14:26 |个人分类:复变函数|系统分类:科研笔记

复变函数


第一章     复数

1.       为什么要复数

     为什么要整数

     为什么要有理数

     为什么要无理数

     为什么要复数

2.       复数和复数的代数

     复数

     复数的算术

     复数的平方根

     复共轭

     

3.       复数的几何表示

     复平面

     矢量表示 极坐标

     复数的指数形式

     附录:Euler公式的证明

     复数的加减乘除法的几何表示

4.       复数的球面表示 复球面 无穷远点

     复数的球面表示 Riemann

     无穷

 

 

第二章     复函数(Riemann的思路

1.       复函数

     函数 复函数

     区域

邻域 内点 开集 区域 边界点 边界 闭区域 聚点 孤立点 外点 连续曲线 闭曲线 简单曲线 可求长曲线 光滑曲线 分段光滑曲线 Jordan定理 单连通区域 多连通区域

2.       解析函数

     极限 

     连续 

     导数 

     函数在某点可导的条件 Cauchy-Riemann条件

     解析(全纯)函数

     任意阶可导的解析函数

     调和函数

    u与v:更多的讨论

      表示复函数

3.    初等解析函数

     多项式 多项式的零点

     有理函数

     如何定义复函数:以指数函数为例

     各种初等解析函数

4.    多值函数 Riemann 单值分支(更多的Riemann面讨论见《大场论》的第六章 

     多值函数

     Riemann

     多值函数的单值分支

     多值函数的解析性

5.       初等解析函数举例

5.1 指数函数

5.2 三角函数

5.3 幂函数

5.4 根式函数

     

 

多值性 单值分支 

支点 割线 Riemann

    

5.5 对数函数

     定义

     性质

Bernouli悖论

     单值分支

     支点 对数分支点 代数分支点

     Riemann

 

 

第三章     复积分(Cauchy的思路

1.       复函数的积分

1.1 复积分的定义 复平面上的线积分

     定义

     参数形式

     复积分作为和

     复积分的性质

1.2 复积分作为路径的泛函

1.3 由复积分定义的对数函数

2.       Cauchy定理 解析函数的积分定义

2.1 积分与路径无关的复函数 解析函数

2.2 Cauchy定理

2.3 复连通区域中的Cauchy定理

3.       不定积分

4.       Cauchy积分公式

4.1 环绕数

     环绕数在拓扑中定义

     由复积分表示的环绕数

     同调

4.2 Cauchy积分公式

     环绕数 情况的Cauchy公式

     环绕数情况的Cauchy公式

     无界区域的Cauchy公式

     Cauchy型积分

5.       无穷阶可导的解析函数

 

 

第四章              级数理论(Weierstrass的思路

1.       级数的基本性质

1.1    复级数

     收敛的概念 用级数表示一个函数

     单个级数收敛情况的分类 绝对收敛

     几个级数(函数级数)收敛情况分类 一致收敛

     收敛的条件及各种性质

     级数收敛的几个判据

1.2    幂级数

     幂级数

     Abel第一定理

     收敛圆 收敛半径

     收敛半径的求法

(上、下极限)

2.       Taylor展开

     Taylor展开

     解析延拓:引子

     由级数定义解析函数

     幂级数的和函数在收敛圆上必有奇点

     几个例子

3.       Laurent展开

     双向幂级数

     Laurent展开

     Taylor展开和Laurent展开

     Laurent展开举例

直接计算  间接计算

4.       奇点

     孤立奇点

     孤立奇点的分类

     可去奇点

     极点

     本性奇点

     无穷远点作为奇点

     非孤立奇点

5.       整函数与亚纯函数

     整函数

     亚纯函数

 

 

第五章              留数定理

1.       留数定理

2.       留数的计算

     任意孤立奇点留数的计算:直接展成Laurent级数

     极点的留数

     无穷远点的留数

3.       实积分的计算

  3.1     型积分 (有理三角函数)

3.2 无穷积分

△      型积分  (实轴上无奇点情况)

      型积分

4.       积分路径上有奇点的积分

     主值积分

第六章     积分变换

1.       Fourier变换

1.1   Fourier级数回顾

     线性矢量空间 完备集

     Fourier级数 

1.2   Fourier变换

     Fourier变换的定义

     Fourier变换的性质

2.       Laplace变换

     Laplace变换

     Laplace变换的性质

3.       δ-函数

     δ-函数的定义

     δ-函数的性质

     δ-函数的Fourier变换和Laplace变换

     δ-函数的表示

     高维δ-函数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

提纲



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