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Oriented Thermomechanics of Planar Elastic Surfaces
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注1：科学网对标题字数有限制，不超过60个字符，对英文来说，是不是有些短了？
注2：本文是为去年8月份北大召开的“纳米材料和异质结构力学中的表面效应”IUTAM专题研讨会准备的，作为会议论文将由Springer出版，此处上传的是私人版本，用于非正式学术交流，请感兴趣的读者注意保护版权，特此说明。
本文在小变形理论的框架内和等温条件下研究理想晶体表面的弹性行为，以平坦表面为例，关注表面应力和表面应变的热力学定义问题，主要内容包括以下几个方面：
1. 把 Reissner 混合变分原理（1984, 1986）所采用的能量泛函，即 Reissner 弹性半余能，进行热力学推广，引入 Reissner 自由能。Reissner 弹性半余能的核心是，相对于一个特殊的取向或一个特殊的平面，将传统弹性应变能做局部分解成面内和横向（面外）两部分，然后对横向部分做 Legendre 变换，因此，Reissner 弹性半余能是隐含了特殊取向的标量能量函数，以面内应变和横向应力为独立状态变量。
Reissner 自由能密度（单位参考体积）作为 Helmholtz 自由能密度对弹性项的部分 Legendre 变换被引入，它的全微分视做小变形情形下理想弹性固体局部形式的 Gibbs-Duhem 方程。理想弹性系统的局部热力学平衡由穿过某一平面的热力学强度量的间断为零保证，具体地，Reissner 自由能密度的间断为零保证化学（更准确地说是构形）平衡，温度的间断为零保证热学平衡，横向应力的间断为零保证力学平衡，面内应变的间断为零保证变形协调。
2. 割面（dividing surface）和余缺（excesses）是 Gibbs 表面热力学的核心概念，关于割面的位置怎样选，历史上各有主张，最初，在 Gibbs 的时代，选哪个面作为割面仅仅是个约定。以平坦流体界面为例，Gibbs 主张取某一组分摩尔数的余缺为零的那个面作为割面，这种选取割面的方式称为 Gibbs 约定，事实上，Gibbs 约定已经隐含了体积的余缺为零这样一个事实，这是认为存在一个数学割面的自然结果；1962 年，Hansen 指出，也许可以不用 Gibbs 图形化的方法研究界面热力学，以界面两侧体相的 Gibbs-Duhem 方程作为约束条件，我们可以任意消去两个强度量的微分，Gibbs 约定实际上是消去了压强和某一组分的化学势，Hansen 说我们当然也可以选择消去其中某两个组分的化学势，若用 Gibbs 图形化的方法，这相应于取两个数学割面，此种选取割面的方式称为 Hansen 约定；1979 年，Cahn 总结和推广了 Hansen 的思想，并引入一套符号记法，完全抛开了割面的概念。
基本上，以上这些基础研究都是针对多组分平坦流体界面系统的，对弹性固体材料严格的 Gibbs 界面热力学意义上的研究相当少，就我们所知，Nozieres 和 Wolf 是最早和最有洞见的研究者。对平坦弹性固体界面系统，他们采用双割面，等效于流体界面系统的 Hansen 约定。Nozieres 和 Wolf 最主要的贡献是对弹性固体甄选面内应变和横向应力作为强度量，并提出表面应变的概念，但是，不足之处是他们做了弹性状态均匀性的假设，对固体来说这是一个相当强的假设。
3. 本文的主要工作是放松 Nozieres 和 Wolf 弹性状态均匀性的假设，对表面应力和表面应变给出一般性的热力学定义。为了突出主要思想，我们以平坦的弹性固体表面为例，物质微元看作一个个热力学子系统， 所有表征平衡的热力学强度量在微元内部都是均匀的，微元和微元之间可以有差异，即抛开整体弹性状态均匀性的假设。真实材料表面是一个过渡层，由块体过渡到真空，首先我们将其连续介质化，材料性质在表面层内呈现沿法向的梯度变化，同时，我们构造一个用作对照的名义体系，全由块体材料组成，以任选的数学面为边界，真实体系和名义体系之间的差值即为余缺。作为材料表面的本征属性，所有热力学广延量的表面余缺都应该是和任选数学面的位置无关的，换句话说，都必须是余缺不变量，根据这个原则，我们发现，对无原子扩散的理想弹性系统来说，相应于质量密度的表面余缺为零的那个数学面当选为割面，以保证真实体系和名义体系的质量等价。割面选定，则我们可以定义本征的表面材料性质，对热力学函数，我们用余缺不变性原理来定义（详见论文）。
本文的主要结果是修正和推广了经典的 Shuttleworth-Herring 方程，并将尚未引起足够重视的 Nozieres-Wolf 方程推广到弹性状态不均匀的情形，这两个方程都是由表面的等温 Gibbs-Duhem 方程得到的。
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