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培养“量子空间想象力”
精选
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当你认真求解和深入讨论四、五个典型的量子体系之后，你的量子空间想象力就在潜移默化中产生了。你就会努力想象一个微观体系在那个看不见的量子空间所展示的种种特性。
—— 顾樵
量子力学是描述微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论，它是在量子假设和实验事实的基础上建立起来的。与牛顿力学、麦克斯韦电动力学、爱因斯坦相对论力学的建立方式迥然不同，由于量子理论的复杂性，它不是由一个人而是由多个国家的一群人建立、发展和完善起来的。量子力学的创立，作为多方智慧的融合与结晶，是人类科学发展史上最有魅力、最激动人心的篇章之一。它是一部最有标新立异、最具奇思妙想、最富诗情画意的科学思想史；也是一门严格、自洽、完整、实用的物理学理论。那么，人类的创造力如何超越自身的想象力，从而铸就这一空前辉煌的科学丰碑？
量子论的哲学思想有悖传统的思维方式，它的基本观点至今没有渗透到大众的意识中去，这给它蒙上了一道神秘的面纱，使许多人望而却步。我作为一介学习、研究、应用量子理论长达30年之久的“老兵”，面对量子力学的“神奇莫测”曾无数次陷于“迷惑”之中(玻尔语：“If you are not confused by quantum physics then you haven’t really understand it”)；当然也常常因为领悟到它的奥妙与精彩而兴奋不已。我愿意携带着自己的感受，与广大读者一起，一步步地踏入量子力学这座神秘而充满流光溢彩的科学殿堂，去领略和欣赏由众多大师精心雕琢而成的那一件件具有艺术美感的科学瑰宝。
青年时代的马克思·普朗克
量子力学的起源可以追溯到1900年。这一年德国物理学家马克思·普朗克提出了“量子”概念并建立了著名的黑体辐射公式，这标志着一个新的物理学时代的开始。一个多世纪以来，量子理论已经开辟了极为广阔的科学天地，固体物理学、量子统计力学、量子场论、量子电动力学、量子色动力学、量子电子学、量子光学、量子信息学、量子化学、量子生物学等等应运而生。再看看周围的世界，伴随我们这一代人的成长，高科技产业层出不穷：电子显微镜、半导体、激光器、电视、电子计算机、电子通讯、光纤通讯、超导材料和各种新型材料、核磁共振成像等。它们的出现和应用已经极大地推进了人类的物质文明和精神文明。而所有这一切，无一不同量子力学相联系！
学习量子力学有一个潜在性问题，即所谓培养“量子空间想象力”。中学学习立体几何的时候，老师经常说培养“空间想象力”。它指的是由一个几何体的数学描述想象它的三维构象。什么是“量子空间想象力”？量子世界是看不见的，在没有量子力学知识的情况下去想象量子世界，一定会下意识地沿袭经典物理学的思路。这样你无法想象下列现象：
量子体系的能量不是连续而是分立变化的，基态的能量是非零的，在基态之下没有状态存在；
微观粒子在运动中可以贯穿高于自身能量的势垒，出现透射现象；
谐振子可以出现在振幅以外的区域；
氢原子中的电子可能出现在空间的任何位置(不限于玻尔轨道)；
电子不但有轨道角动量，还有自旋角动量，而自旋角动量在空间任何方向上的投影只能取两个值，即
；
……
这些经典物理学中不可思议的“奇怪”现象正是量子理论的自然结果。这些知识和理念需要在求解各种量子体系中不断积累，与此同时一种“量子空间想象力”就在逐渐培养之中。当你认真求解和深入讨论四、五个典型的量子体系之后，你的量子空间想象力就在潜移默化中产生了。你就会努力想象一个微观体系在那个看不见的量子空间所展示的种种特性。
20多年前我来到德国，一直从事生物光子学(属于量子生物学)的研究、应用、与开发。由于自身理论物理的学术背景以及研究所的工作需要，也经常开设一些学术讲座，主讲数学物理方法和量子力学。对于所使用的外文教材，作为一个注重严密逻辑推理的中国教授而言，我感到系统性与缜密性不足。因此，我总是按照自己认定的内容与方式授课，与学生手中的教材大相径庭。
近年，我常回中国讲学。除了介绍国外科学前沿与高新技术，也讲授数学物理方法和量子力学等基础课程。所用的通常是中文教材，面对母语颇感亲切。但对于一个熟谙西方治学方法的学者，又觉得欠缺灵活性与实用性。所以我的授课依然与学生的课本不相配合。而且不提供课件。学生给我发邮件诉求：“说句真心话，听顾老师的课是一种享受，您讲课太棒了！不知您能否把课件上传，这样我们复习就可以节约一些时间”。问题还是没有称心如意的教材。许多学生以及听课教师问我为什么不出版自己的教材。我的想法是，有写教材的时间，不如去钻研重要的生物光子学课题。
但是，这样的想法随着听课人数的不断增加发生了改变，授课与课本不相配合产生的负面作用越来越明显，学生普遍感到压力很大。于是，渐渐萌生了写书的念头。就在这时，我发现不少学生已经设法将我的课件复制下来并传到网上。这说明学生们对课件的喜爱，但孰不知其中很多原创内容尚未公开发表。这个情况使写书的念头突然间上升为一种冲动。其实，平心而论，作为一名定居海外多年的学者，在讲学和研究之余，能为祖国留下几本教科书，以飨众多中国读者，也是一件很有意义的事情。
成书后的《量子力学Ⅰ》和《量子力学Ⅱ》是一套综合性专著。按内容分成17章，但就知识结构而言可以划为以下六个层次：
1.背景知识 在综述经典物理学(特别注重对量子力学直接有用的知识)的基础上，讲述量子力学的背景知识(附以真实有趣的历史故事)，涉及量子概念与黑体辐射、光电效应与康普顿散射、原子结构与玻尔理论、物质波(波粒二象性)与波动力学。
2.基本理论 包括波函数与薛定谔方程，一维束缚态的性质，一维无限深势阱，势垒贯穿，线性谐振子，力学量的算符表示，类氢离子(氢原子)，厄米算符(对易关系和测不准原理)，表象变换与矩阵力学表述，微扰论，光的吸收与发射，散射问题，全同粒子与自旋，二次量子化等。
3.基本理论问题的新解法 例如利用德布罗意关系和亥姆霍兹方程推导定态薛定谔方程，用哈密顿算符的本征方程导出薛定谔方程的形式解，用驻波条件计算一维无限深势阱的本征能量，用傅里叶变换法求解δ势阱中的束缚态(包括双δ势阱和三重δ势阱)，用薛定谔方程的数值解论证谐振子的量子化条件，谐振子问题的算符代数法及本征函数的合流超几何函数表示，类氢离子径向本征函数的合流超几何函数表示，用傅里叶变换法推导测不准关系，用格林函数法求解薛定谔方程进而讨论散射问题的玻恩近似，用算符代数法讨论角动量问题(导出角量子数取整数和半整数两种情况)。
4.重要专题讨论 例如自由粒子波包(包括自由粒子波包的箱归一化处理)，原子核的α衰变，量子共振腔，电子流的加速，双势阱模型(中央势垒取低能和高能两种情况)，普薛耳-泰勒势(复指标连带勒让德函数、束缚态和无反射势)，双曲正切势(超几何函数和反射系数)，惰性气体分子的伦纳德-琼斯势，双原子分子的莫尔斯势与振动能级，普薛耳-泰勒势阱(束缚态和极限行为)，谐振子高斯波包的周期性振荡，无限深球形势阱(黎卡提-贝塞尔函数)，碱金属原子的能级和波函数，密度算符与力学量的平均值，动量波函数(自由粒子的动量波函数、一维无限深势阱的动量波函数、基态氢原子的动量波函数等), 利用能量-时间测不准关系讨论激光的相干性，卢瑟福散射的经典与量子理论，无损耗传输线与单模辐射场的量子化，氢原子能级的精细结构(狄拉克方程和相对论量子力学微扰论)。
5.扩展到其他学科 例如分子物理学(克拉策分子势及分子的振动-转动能级)，激光物理(光放大机制和激光的量子特性)，固体物理(电子气模型和能带论)，量子统计力学(玻耳兹曼统计、费米-狄拉克统计、玻色-爱因斯坦统计、化学势与费米能级、光子统计与热辐射、声子与德拜模型、库柏对与超导现象等)，半导体物理(载流子、导带、价带、有效质量、迁移率等)，量子光学(光子数态、混沌态、相干态、压缩态、非经典光等)和量子信息学。
6.联系到最新进展和前沿课题 例如有机物的着色机制(共轭链系统中的π电子)，扫描隧道显微镜和原子力显微镜，双势阱中的周期性势垒贯穿(振荡频率为10的14次方Hz的光学钟)，中微子振荡(一般双态问题)，哈密顿替代法(微扰论)，合作自发发射(超荧光和超辐射)，光子晶体(光在周期性介质中的传播、色散曲线、光子晶体光纤)，石墨烯(具有完美晶格结构的二维材料、能带结构、零带隙半导体、奇异的量子效应)，薛定谔猫态(相干态之间的量子干涉)，量子纠缠态(一个体系的微观状态与宏观状态的耦合)，量子退相干，杰恩斯-卡明斯模型(单模辐射场与单个二能级原子的相互作用)和穿衣态，腔QED和量子计算机，反物质及应用(肿瘤的诊断和治疗、反物质燃料、反物质武器等)。
物理学教授 顾樵博士
与通常的量子力学教科书不同，本书作为一部综合性量子力学专著所涉及的内容相当广泛，本科教学中可根据课时和需要加以取舍。书中所述知识绝非一个学期就可以完全掌握，需要长期反复思考与练习，所以本书对硕士生和博士生同样有用。另外，本人根据自己的经历深深感到，即使是从事相关教学、科研或工程技术多年的专业人员，也常常需要查阅量子力学的基础性知识。所以既为教学所用，又适应科研需要，是本书的宗旨。书中列出大量例题，读者可从中感受和领会解决实际问题的思路与方法。却没有像普通教科书那样附上练习题。实际上授课老师寻找一些练习题布置给学生(或者学生自找练习题)并非一件难事。
在多年的学术讲座和授课中，国内外不少学生、听课教师和其他专业人员提出许多有意义的问题，使本书内容日臻丰富，在此向他们致谢。另外，作者感谢与Fritz A. Popp教授的有益讨论，与他在德国国际生物物理研究多年的学术合作使我受益匪浅。
本文摘选自[德]顾樵(Qiao GU)著《量子力学Ⅰ》和《量子力学Ⅱ》前言部分，略有删减、调整，标题为编者所加。这是一部内容丰富的综合性量子力学专著，根据作者20多年来在德国和中国开设量子力学讲座和相关研究成果提炼而成。全书注重自身理论体系的科学性、严谨性、完整性与实用性。将中国传统讲授内容与国外先进教材相结合；将量子力学的纵向演化与知识现状相结合；将基本理论问题与相应的新解法相结合；将概念性表述与专题讨论相结合；将应用实践与其他学科相结合；将基础性知识与最新进展和前沿课题相结合。既为教学所用，又适应科研需要。 本书物理论述及数学推导力求简明、直观、详尽、易懂，可以作为各类人员的自学教材及参考书。
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