关注：变加速动力学中的新概念---状态力

笔者曾在博文“聊聊急动度的历史及其未来”中提到“状态力”这个词，本文对它作点必要的阐述。

牛顿力学的成功通常使人们对其概念体系几乎无从置喙。但是，在人们接受了急动度^[1]这个描写加速度变化快慢的运动学概念之后，自然会想到与之相关的变加速动力学问题。文献[2]、文献[3]也对相关的变加速动力学和猝变动力学做了一些介绍和评述，并且文献[3]把力变率公式、猝量方程、加速度能量定理、阿沛尔方程以及三阶拉格朗日方程归纳成变加速动力学框架。文献[4]明确表示：加速度能量是表征物体加速度状态的态函数。而加速度能量定理、阿沛尔方程以及三阶拉格朗日方程都是加速度能量变化规律的表述。文献[5]则把加速度能量与广义的Appell函数相联系，并且指出：加速度能量只是Appell函数在变加速动力学中的特殊称谓。因此可以说，人们对加速度能量及其相关规律的认识还是较为完整的。但是人们对于变加速动力学中的猝量方程的认识（尤其是在概念的完整性方面）就显得有些不足，有进一步完善的必要，这也就是本文的主要宗旨。

一、猝量方程掲示了变加速动力学的一个新概念---状态力

文献[6]只介绍了吴大猷先生给出的猝量方程的原始形式

但未作更详细的说明。

实际上，猝量方程左边的猝量是过程量，而右边的-则表示物体从0时刻到τ时刻某个状态量的增量。由于这个状态量具有“力”的量纲，因此，我们可以将这个状态量和称之为“状态力”（注：这里的猝量方程用的是一维形式，一般来说，猝量和状态力都是矢量）。值得注意的是：“状态力”不是传统牛顿力学中的外界对物体的作用力，它是作加速运动或变加速运动的物体所具有的一种属性，是一种态函数，是以加速度表征的运动的动力学量度（即：所谓“运动的量”）。由于吴大猷先生是套用牛顿力学中的冲量概念引入猝量概念的，因此这里也可套用动量概念引入“状态力”概念。总而言之，状态力这个新概念是由猝量方程揭示的，而猝量方程则是状态力变化规律的表述。这才是对猝量方程较为完善的理解和认识。

似乎有点奇怪，在牛顿力学中，人们对于中的质量和加速度都十分熟悉，对于质量与速度的乘积（动量）也十分熟悉，但对和的乘积却不大在意。其实，把质量与加速度的乘积视为一个整体，将其确立为状态力，也就是捅破一层十分面熟的窗户纸而已，因此，也应该不足为奇。不过，这层窗户纸必须捅破，因为这是引入和全面理解猝量方程时的必需动作。

二、关于猝量方程和状态力概念的应用

在讨论物体运动状态变化的具体问题时，传统牛顿力学通常使用动量定理（或动能定理）。这是基于在传统牛顿力学中，通常把速度（或动量）作为状态量（本文不涉及动能这个状态量）。而吴大猷先生套用冲量概念和动量定理引入的猝量方程则是揭示基于加速度（或状态力）作为状态量的一条描写物体运动状态变化的重要规律。对于作变加速运动的物体加速度状态变化的动力学描写也正是传统牛顿力学言所不及的，因此，猝量方程和状态力概念对于传统牛顿力学就是一种恰当的补充。本文附录中讨论了几个简例，将让我们看到：当物体作变加速运动时，速度状态及其变化的动力学描写是由动量和动量定理给出，而加速度状态及其变化的动力学描写则是由状态力和猝量方程给出，后者弥补了前者的不足，但二者不能相互替代，它们只能各司其职。也就是说，猝量方程和状态力概念在讨论变加速运动问题时，对传统牛顿力学做出的补充使动力学的描写手段更臻完善。

关于猝量方程和状态力概念的实际应用，还可以进一步拓宽思路。比如，在乘坐交通工具时，过大的急动度会引起人们的不适感。附录中【例3】所讨论的瞬间大猝量（即急动度无限大）的问题，正是文献[7]的习题2.13中用缓和曲线来消除的情况。而类似附录【例2】的这种滑道中的瞬间大猝量（即急动度无限大）问题，在游乐场里玩得心跳的各种过山车中也都会经常遇到，这与过山车的设计也有一定程度的相关性。人们对与舒适感相关的急动度效应的测试和研究^[8-10]，以及机器人设计与急动度相关性的研究^[11]，也都有待继续深入，这也都是变加速动力学可以施展的空间。

三、结束语

在科学发展的进程中，关键的实验发现固然重要，而新概念的提出同样也不可忽视。曾任哈佛大学校长的科南特（J.B.Conant）教授甚至认为：“科学不是随着新事实的积累而发展的，...而是随一些有效的新概念的不断发展而发展的。”^[12]

就急动度概念的发展情况而论，伴随猝变动力学的诞生，文献[13]介绍了混沌和急动度之间的微妙关系；而伴随着加速度能量这类“运动的量度”的出现，文献[14]论述了急动度概念带给人们关于科学哲学的新思考。

从本文的论述则可以看到，引入猝量和状态力概念，对于物体作变加速运动的动力学描述十分必要，这确是对传统牛顿力学的恰当补充，也是急动度概念发展之必然。吴大猷先生在给出猝量方程时指出：“引入猝量的观念，这确是在应用力学中有意义，也可能是三百年来牛顿力学系统中可作补充意义的观念。”^[6]笔者认为，吴先生这里说的“引入猝量的观念”，不仅仅是引入一个具体的概念，而是引入一种宽泛的思想，这种思想就是关于“变加速运动的描写”的思想。因此，应该说：整个变加速动力学框架内的概念和规律对传统牛顿力学都具有补充意义。在传统牛顿力学中，关于机械运动的动力学量度，人们习惯（也只能）用动量和动能概念，对于这类“运动的量度”恩格斯曾有过精彩的论述^[15]。现在变加速动力学增添的状态力和加速度能量这两个概念显然是一种新的动力学量度，这就使机械运动的动力学量度手段得到扩充，使其更臻丰富和完善。

总而言之：现在的情况是，变加速运动的广泛存在和人们对变加速动力学诸多新概念的陌生，两者形成了巨大的反差[尽管文献[7]的张三慧《大学物理学》（力学、热学）（第三版)A版（第47页）也介绍了急动度概念，但知道的人仍然不多]。要缩小这种反差，学人还须继续不懈地努力。

四、附录

为了进一步认识猝量和状态力概念在讨论变加速运动的实际问题时对于传统牛顿力学的补充意义，在下面的几个例题中，我们结合冲量和动量概念，进行对照性讨论。

1.普通有限时段中的变加速运动

【例1】 （对文献[16]一个变加速运动例题的改编）一辆小汽车在平直的公路上行驶，设其加速度为时变函数（米/秒²），初始位置为，初始速度为（米/秒）。若小汽车的重量为1.5吨，（1）试求小汽车从1秒末到5秒末所受的冲量和猝量；（2）讨论小汽车“运动的量”所发生的变化。

解 （1）首先可求得速度时变函数

+10+2t-0.05t²（米/秒），

将1秒和5秒分别代入上式可求得1秒末的速度值和5秒末的速度值分别为

=11.95（米/秒）和=18.75（米/秒），

然后可求得冲量

=1.5×10³×18.75-1.5×10³×11.95=1.02×10⁴(牛顿·秒）；

将1秒和5秒分别代入加速度时变函数表式（米/秒²）可求得1秒末的加速度值和5秒末的加速度值分别为

1.9（米/秒²）和1.5（米/秒²），

然后可求得猝量

1.5×10³×1.5-1.5×10³×1.9=-600（牛顿）。

（2）对于以速度表征的汽车运动的量（即动量），是从1.5×10³×11.95=1.79×10⁴(牛顿·秒）增加到1.5×10³×18.75=2.81×10⁴(牛顿·秒）；而对于以加速度表征的汽车运动的量（即状态力），则是从1.5×10³×1.9=2.85×10³（牛顿）减少到1.5×10³×1.5=2.25×10³（牛顿）。

2.短暂瞬间的变加速运动

众所周知，在传统牛顿力学中，用动量定理讨论问题时，只涉及物体运动过程的始末状态，不问过程的细节，因此，人们经常用动量定理来讨论碰撞之类的瞬间运动。同样，在变加速动力学中，猝量方程也具有类似的特点，因此，可以用猝量方程来讨论瞬间的变加速猝变过程。

比如文献[17]介绍了轮子在圆轨道末端滚入水平直轨道瞬间由于无限大的急动度可能产生的蹦跳。我们可以避开“无限大的急动度”这个细节，并且把该问题简化，拟编成下面的一个例题。

【例2】  在铅垂面内有一段光滑的半径为R=1米的圆弧（假定为四分之一的圆周）轨道，其下端与光滑水平轨道相连.设一个质量为1千克的物块从圆弧轨道顶端自由下滑。（1）讨论物块从圆弧轨道下端滑入水平轨道瞬间其“运动量”的变化；（2）试求该瞬间物块所受到的冲量和猝量。 

解（1）显然，物块从圆弧轨道下端滑入水平轨道瞬间,动量=1×=4.77（牛顿·秒）(即以速度表征的物块的运动量）维持不变，而以加速度表征的运动量（即状态力）则从²/R=219.6（牛顿）突然减至零；

（2）由于该瞬间物块的动量维持不变，因此，由动量定理得知物块所受冲量为

    ，

而该瞬间物块的状态力从²/R=219.6（牛顿）突然减至零，因此，由猝量方程得知物块所受猝量为

    0-²/R=-2-19.6（牛顿），

其方向为外法线方向。

    下面再看一个由文献[7]的一道变加速运动习题（文献[7]中的题2.13）改编的例题：

【例3】 设某平直铁路轨道与一段圆弧铁路轨道平滑相连接，圆弧铁路轨道半径为R=300米，若火车头的重量为150吨,保持以速率50（千米/小时）从平直轨道进入圆弧轨道，（1）讨论火车头从平直轨道进入圆弧轨道时所受的冲量和猝量；（2）讨论在该瞬间火车头“运动的量”所发生的变化。

解 （1）由于火车头保持以速率50（千米/小时）行驶，它从平直轨道进入圆弧轨道时的速度没有改变，故而所受的冲量

；

因为在平直轨道行驶时的状态力，而火车头进入圆弧轨道时的状态力为/R，因此可求得该过程中所受的猝量为

(/R)-0=1.5×10⁵×（5×10⁴/3600）²/300

=9.65×10⁸(牛顿）,

其方向也即向心力的方向。

（2）火车头从平直轨道进入圆弧轨道时，由于保持以速率50（千米/小时）行驶，因此，以速度表征的运动的量（即动量）应保持为

1.5×10⁵×(5×10⁴/3600）=2.1×10⁶（牛顿·秒）；

而以加速度表征的运动的量（即状态力）则从零增加到

/R=9.65×10⁸(牛顿）。

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