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学以致用——我讲《线性代数》的体会 精选

已有 7901 次阅读 2020-12-11 12:59 |个人分类:教育随笔|系统分类:教学心得

2020年秋季学期,我讲授大学一年级的“线性代数”课程。教室里大约坐了100名学生,分别为信息学部机器人设计和制造专业的200291200292班和理学部物理专业的200611200612班。学生太多,我不得不用麦克风讲课。第一次用麦克风讲课,真地找到了一点儿歌星的感觉。

 

                一、课程内容的取舍

 

这门课程使用的教材是由学校早年退休的王老师编撰的《线性代数和解析几何》(科学出版社,2000出版),开课以前就已经发到了每一名同学的手里了。理工科的同学学习“线性代数”课程,主要是围绕着线性方程组的求解问题,以矩阵的运算为中心,学习行列式、矩阵的秩、向量、矩阵的对角化和二次型等相关知识。在以后的学习和工作中,如果同学们能够运用学到的知识和方法,熟练地进行相关计算,解决实际问题,那么该课程的教学目的就达到了。《解析几何》主要是培养同学们的空间理解能力,虽然二者之间有一定的联系,但是关系并不大。于是,在教学过程中,我只讲“线性代数”的知识,“解析几何”的部分一概不讲。况且我们的课时有限,只有54学时,根本没有时间讲那么多内容。

 

               二、侧重解题能力的培养

 

我采用板书和电子课件相结合的方式,循序渐进地展开教学内容,每次只讲一个主题。讲课时语速不要太快,留出同学们思考的时间,引导同学们逐步建立起自己的知识体系。多讲一些例题,讲课时一般不证明数学定理,或者仅仅提供一些简短的提示,让同学们课下自学相关的内容。冗长的数学证明不仅占用太长的课堂时间,还会增加同学们的畏难情绪,不利于解题能力的提高。有时候,我还要把晦涩的数学专业术语翻译成大白话,有一次,有一位同学捧着课本来问我:“什么是‘定义在实数域上的一个矩阵’?”我告诉他就是实矩阵,矩阵里的数都是实数。

 

               三、矩阵的秩——这样定义更好

 

在线性代数的教学中,矩阵的秩是一个非常重要的概念。我见到的国内的大部分线性代数教材中,都把矩阵的秩定义为最高阶的非零子式的阶数。这种定义只是提供了一种计算矩阵的秩的方法,并没有说明矩阵的秩的意义。每次讲到这里,同学们都感到非常困惑。其实,矩阵的秩就是向量组的秩,但是大部分教材都是先讲矩阵,后讲向量组,把矩阵的秩定义成最高阶非零子式的阶数纯属无奈之举。我们可以先引入矩阵的行(列)秩的概念,告诉同学们矩阵的行秩就是经过初等行变换以后得到的行阶梯矩阵中含有非零元素的行数,类似地可以定义矩阵的列秩。由于所有的矩阵都可以经初等行变换和初等列变换变为矩阵的标准型,可以证明矩阵的行秩和列秩相等,从而给出矩阵的秩的定义。还可以把矩阵的秩的概念和线性方程组的求解联系起来,告诉同学们当方程组有解的时候,系数矩阵的秩就等于初等行变换以后剩余下的独立方程的个数,从而明确矩阵的秩的意义。

 

                                四、《线性代数》和《量子力学》的关系

 

物理专业三年级的同学要学习基础专业课《量子力学》,需要用到了很多线性代数的知识。比如如何求矩阵的特征值和特征向量,如何实现厄密矩阵的对角化以及表象变换等等。在量子力学的具体的表示空间(表象)中,力学量算符对应着厄密矩阵,微观粒子的波函数对应着列向量,而时间演化、空间演化以及表象变换都属于幺正变换。只不过在线性代数课程中,讨论的所有矩阵都是实矩阵,而在量子力学中,矩阵元可以是复数。因此,物理专业的本科生必须学好《线性代数》。

 

面对刚刚从中学升入大学的一年级新生,在一个学期内,帮助他们建立完整的线性代数课程的知识体系,无论对于老师还是对于同学来说,都是一个巨大的挑战,然而,这正是这门课程的魅力之所在。

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