一 偶然的发现

       2008年初，我偶然得到了一新的逆小波变换公式，它竟然一直处于流行了近三十年的小波理论体系之外！它是我在数学分析方面的一个理论发现，代表了我迄今为止最高的学术贡献。上世纪80年代，小波变换的概念被Morlet等人创立，Grossmann，Mallat等紧接着给出一个逆小波变换。如果把小波变换视为离家，那么逆小波变换相当于回家。最初的逆小波变换可视为第一条回家的路，而我的发现则开辟了第二条回家的路。

二 回家的故事

       第一条回家的路有这样的故事：

I）               它是一条沿原路返回的路。比如，一个人乘火车从A离家到达B，那么，这条路相当于此人又乘火车从B返回家A。

II）            它给出了小波的定义，从此，小波成为近三十年来最为流行的数学概念，其在信号分析与处理方面的应用数不胜数。该定义下的小波必须满足一个容许性条件，即小波应该是起伏均匀的（即期望为0）。长期以来，人们是这样理解小波的：它是一个起伏均匀的局部时间信号。我把如此定义的小波称为狭义小波。

       第二条回家的路诉说着如下的故事：

I）               它是一条不沿原路返回的路。比如，一个人乘火车从A离家到达B，那么，这条路相当于此人乘飞机从B返回家A。

II）            它能够给出了更为一般小波的定义， 这意味着，小波这一长期流行的概念应该被革新。新的小波定义很简单：y(t)=w(t)exp(it)，其中w(t)是一个窗口函数。我把如此定义的小波称为广义小波。广义小波突破了狭义小波的容许性条件的限制，即小波不必是起伏均匀的，这极大地扩展了小波概念的范畴。狭义小波和广义小波的差别在于：前者经过扩张或收缩能够成为后者，而后者不一定能通过扩张或收缩成为前者。因此，广义小波比起狭义小波，不仅定义更为简单，而且意义更为一般。这样以来，小波教科书必须从最根本处被革新。这里用“革新”而不是“革命”是因为狭义小波依然可用，如在Mallat和Daubechies的多分辨率分析（MRA）中。

III）          它提出如下问题：既然存在第二条回家的路，那么存不存在第三条、第四条甚至更多回家的路？如果这些路存在，那么它们在哪里？如果这些路不存在，那么如何证明？这些问题到目前为止没有明确的答案。

三 关于第二条回家的路

       事实上，第一条回家的路看上去很完美，在它被铺设完毕之后，再也没有人去想别的回家的路了。我也认为第一条路很美丽，只是因为无聊，我想试试将这条路扩展得更宽些。没有想到最终的结果竟是：我得到了另外一条回家的路，这条路居然没有人曾经走过！

       第一次走在这条新的回家之路上，我几乎不敢相信那是真的，因为它是如此简单，如此和谐！我最终确认这条路的正确性是在2月14日，冥冥之中，上帝给了我一个无法拒绝的情人。

       我坚信：新发现的逆小波变换公式，将如同毕达哥拉斯发现的勾股定理一样被写入小波教科书，从而恒久流传。如果有人认为我太嚣张，太浮躁，那么，至少我可以得意地把该公式刻在我的墓碑上，并在其下注明：“亲爱的读者，这个公式在说：回家的路不止一条！”

END