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一种快速衰减的低通滤波器——数据分析漫谈4

已有 6694 次阅读 2012-9-3 09:27 |个人分类:科研随笔|系统分类:科研笔记|关键词:学者| office, style, 滤波器

滤波问题中的关键是低通滤波器的构建。带通滤波器可视为两个不同低通滤波器的差。

 

理想低通滤波器是shannon函数,但是其在时域中的衰减速度为O(1/t), 实用起来不是很方便,尤其是在对于较短时间序列进行滤波的时候。本博客提供一种在时域中的衰减速度为O(1/t2)的近理想低通滤波器,期待该滤波器能够在较短时间序列滤波中发挥作用。

 

理想的低通滤波器是shannon函数sv(t),即

${s_varpi }(t) = frac{{sin varpi t}}{{pi t}}$                                   (1)

其中v>0是一常数,代表截止频率。该滤波器的傅立叶变换即频域响应是一个矩形,即

${{hat s}_varpi }(omega ) = left{ {begin{array}{*{20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi } \ 0 & {|omega | > varpi } \ end{array}} right.$                                 (2)

其中^是傅立叶变换算子。因此sv(t)是个理想低通滤波器。但是,由(1)可知,sv(t)在时域中的衰减速度为O(1/t), 有些慢。也就是是说,在实际低通滤波应用中,sv(t)的截断是个问题。截断后的sv(t)如果太短会引入滤波误差,截断后的sv(t)如果太长则会引入较长的边缘效应。

 

下面看一个近理想的低通滤波器lv(t)

${l_varpi }(t) = frac{{sin at}}{{at}}{s_varpi }(t) = frac{{sin atsin varpi t}}{{pi a{t^2}}}$                    (3)

其中a>0是一个相对于截止频率v较小的常数频率, a/v<1。该滤波器的傅立叶变换(即频域响应)是一个梯形,即

${{hat l}_varpi }(omega ) = left{ {begin{array}{*{20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi - a} \ {frac{1}{{2a}}(omega + varpi + a),} & { - (varpi + a) < omega < - (varpi - a)} \ { - frac{1}{{2a}}(omega - varpi - a),} & {varpi - a < omega < varpi + a} \ {0,} & {|omega | ge varpi + a} \ end{array}} right.$        (4)

a/v<<1时,滤波器lv(t)就是一个近乎理想的低通滤波器了。

 

(3)可以看出,低通滤波器lv(t)在时域中的衰减速度为O(1/t2),要比sv(t)衰减得快。也就是说lv(t)在滤波应用时更容易被截断。当然,这一高速衰减是建立在lv(t)在频域中是个近乎矩形的梯形的让步基础之上的。在滤波实际应用中,这种让步是被允许的。

 

但愿大家会喜欢近理想的低通滤波器lv(t)



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4 杨正瓴 徐绍辉 戴朝华 何林

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