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从行列式到量子物理：中国古代数学的新生命
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爱斯基摩人的主要食物是海豹，但据说有一支爱斯基摩人的语言里没有海豹一词；每当爱斯基摩猎人相遇交换海豹信息的时候，需要说一大堆描述性的话才能说明是海豹这个动物。可以想象，这个表达的笨拙大大地约束了爱斯基摩的文学发展。假如他们要歌颂两个海豹猎人的传说，将会非常难以表达、记忆、传承。类似的，数学符号相当于数学语言的单词。古代中国人数学水平确实不低，但后来发展缓慢，为什么呢？我认为，原因之一是中国没有意识到符号表达数学关系的威力，没有发明各种的符号扩充数学语言的词汇量。如果把数学看成一个语言艺术领域，中国数学作品的相对贫乏就不可避免了。
行列式（Det: DETERMINANT）中学就学了。一个方形矩阵计算行列式，算大的矩阵要先算小的，符号还得交替变换。知其然不知其所以然，一头雾水。后来读西方写的数学史，才知道中国人早在《九章算术》（公元前2世纪）里就用到了行列式，而西方数学在两千年之后才用到。我们得承认，我们的古代祖先确实聪明，但后人就不行了，到唐朝时《九章算术》很多题目已经没人会做了。而西方则把这些数学步步推进，行列式在数学、物理经常出现。这个 det 符号往往令人望而生畏。它到底是什么？
先看一个简单的二元一次方程组：
a x + b y = e
c x + d y = f
简单的消元
ca x + cb y = c e
ac x + ad y = a f
得出 (ad - cb ) y = af - ce
类似的： (da - bc ) x = de - bf
对比原来的方程组，这样对角相乘、然后相减的数 ad -bc 出现了，同一行、同一列的数字不会出现。这个数字我们称之为行列式。如果扩展到三元一次方程组，也有类似的数出现，但公式就复杂多了，因为有9个数字进行三个相乘（但同一行、同一列数字不会出现在一个乘积里）。九章算术里面解多元方程就是这么列阵进行。继续计算，可以发现中学数学里学到的递归计算规律。这是一个（线性）代数的理解。
数学与物理中，我们往往发现仅仅是符号的变化就能大大的简化各种推导与表达，甚至使很多看似复杂的结果变得非常显然。麦克斯韦尔的电磁学 论文发表时还没有矢量符号与偏微分符号，他的论文列出20多个分量方程，看得人眼花缭乱，根本不像现在这么优美简洁。狄拉克发明了 bra - ket 之后，量子力学的各种计算都大大简化，几乎成了机械套用。杨振宁当年为了找到规范场的数学 表达费了很长时间摸索，用 differential form 看，就是几分钟的事情。在这篇博文里，我做了一个CHERN- SIMONS场方程的推导，仅仅是几行；其中一行 $(partial^aepsilon_{banu} - sigma g_{bnu})(partial_{mu} epsilon^{fmunu}-sigma g^{nu f}) B_f=0$，如果不是使用所谓 Einstein 的重复求和等规则，而是把各个分量摊开，这么多上标、下标，估计需要写满好几张纸，会看得我头昏眼花。
从几何上理解行列式，将每一列视为一个向量，行列式就是这些向量构成的多维多面体的体积（有朝向的）。在数学上，与向量结合而产生数字并且满足线性关系的量叫着张量。这个把多个向量吃入，输出体积的张量就是我们经常遇到的 Levi-Civita 符号 $epsilon{...}$ 。这是一个全反对称张量，当下标是 12... 时，数值为1，交换两个下标数字符号相反。
二维的情况: $epsilon_{12}=-epsilon_{21} =1, epsilon_{11}=epsilon_{22}=0$ 。
三维情况: $epsilon_{123} = - epsilon_{132} = -epsilon_{213} = epsilon_{231} = - epsilon_{321} = epsilon_{312}=1$，其余均为零。
用这个 $epsilon_{...}$ 符号， n x n的矩阵 $A$ 的行列式 为
$det A = epsilon_{i_1 .. i_n} A_{1 i_1}cdots A_{n i_n}$
这个表达适用于任意的 n 。以 2 x 2 矩阵为例，
$det A = epsilon_{12} A_{11} A_{22} + epsilon_{21} A_{12} A_{21} = A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21}$ ，对角相乘减去斜对角相乘，这是中学数学都学了的。有兴趣地读者可以试试 3 x 3 矩阵的情况。
中国人发明的行列式在物理中运用极为广泛，但也是一种大大扩展了的运用。古希腊人把行星的运用用圆来解释，不行的话大圆加上小圆。类似的，物理中最基本构件是简谐振子。最基本的物理规律可以说就是没有规律。据 DYSON 回忆，费曼曾对他说一个粒子的运动其实是任意的，选择任何路径，可以跑到月球然后再回来，你把这些路径的几率（复数振幅）加起来就得到了实际结果。DYSON当时回答说：你疯了！当然我们知道，费曼没有疯。恰恰相反，他发现了最深刻的自然规律：路径积分。用费曼的路径积分来分析弹簧振子，把弹簧振子所有可能的路径加起来，包括飞出银河系再回来，有的读者可能会说，弹簧超光速拉伸出银河系早崩 断 -- 疯了。不是这样，费曼怎么是天才呢？总之，我们用费曼方法应该能得到这个经典力学弹簧的结果：在时间为弹簧振子的经典周期的时候，它应该有很大的几率复位。弹簧振子的拉格朗日为 $L = frac{1}{2} m v^2 - frac{1}{2} k x^2$。剩下的这个路径积分是一个数学问题，简言之就是将所有可能的路径的作用量作为几率相角，然后将几率相加。这听起来可能令数学家们头皮发麻，但是理论物理却是家常便饭。下面我略加演示，请大家注意这个 Det 的出现。
首先，
$L = frac{1}{2} m (frac{dx}{dt})^2 - frac{1}{2} k x ^2 = frac{1}{2} m [ frac{d}{dt} (x frac{dx}{dt}) - x frac{d^2 x}{dt^2}] - frac{1}{2} k x^2\= - frac{1}{2} x [m frac{d^2}{dt^2} + k ] x +frac{1}{2} m frac{d}{dt} (x frac{dx}{dt})$
令 $A = - m frac{d^2}{dt^2} - k $, 则从 t=0, x=0, 到 t=T, x=0 的路径积分为 （自然单位 $hbar=1$），
$G = int cal{D}x e^ {i int L(x) dt} = int cal{D} x exp(frac{i}{2}int dt x A x ) = frac{C}{sqrt{det A}}$
因为边界条件，L中的全微分项没有了。上面的积分是个高斯积分，C是一个常数。如果A 是一个矩阵，应该不难理解。把 A 对角化，对角相乘就是该矩阵的行列式。但我们的 A 不是矩阵，而是 一个微分算符。也就是说，上面的结果是
$G propto left[det ( - m frac{d^2}{dt^2} - k)right]^{-frac{1}{2}}$
最早出现于九章算术的行列式 det 在现代物理学中大放光彩。
https://m.sciencenet.cn/blog-684007-1028326.html
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