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傅立叶变换家族族谱(CFS、CFT、DFS、DTFT、DFT、FFT、Z)

已有 17385 次阅读 2014-12-13 08:55 |系统分类:教学心得|关键词:学者

       傅立叶变换自提出以来,在物理学、通信科学、电力科学、地质勘探等众多领域有着重要应用,其衍生出来的各种变换类型较多,本文将对各类傅立叶变换做一个简要的总结。
     (1)傅立叶变换最早来源于连续周期信号的连续傅立叶级数(CFS),注意到CFS仅仅针对连续、周期信号。注意CFS有两种形式,根据欧拉公式的分解与合成,可分为三角傅立叶级数和指数傅立叶级数。
     (2)将非周期信号看成周期信号的周期取为无穷大,就将CFS降为连续傅立叶变换(CFT)。注意到CFT这个概念虽然是由周期信号周期取无穷大来引入的,但是CFT同时适用于周期信号,所以CFT适用于连续的周期或者非周期信号。差别在于,非周期信号的CFT是连续谱,而周期信号的CFT是离散谱,这里可以用一条口诀记忆,一个域的离散会导致另外一个域的周期延拓。
     (3)对于离散周期序列,那么它有离散傅立叶级数(DFS)。
     (4)对于离散序列 ,它有离散时间傅立叶变换(DTFT),特别要注意这里的DTFT中,频率属于数字角频,和CFT中的模拟角频是不一样的,两者关系是:数字角频=模拟角频*抽样时间。还需要注意的一点是,DTFT属于离散的时间,连续的频谱,频谱是连续的。对于由连续信号抽样得到的离散时间序列,DTFT是一个周期延拓的频谱,DTFT在一个周期内的频谱包络和CFT的频谱包络是基本一致的。
     (5)对于离散序列, 它除了有DTFT,还有DFT,区别在于,DTFT属于时间离散,频谱连续,而DFT则是时间离散,频谱也是离散的,所以DFT本质上是对DTFT在频域上均匀采样。并且DFT是DFS的单周期主值,也即是将非周期序列周期延拓后的周期信号的DFS的单周期主值。
     (6)对于离散序列,其DFT的快速算法称之为FFT,由于DFT采用矩阵相乘,算法复杂度为信号规模的平方,而FFT有效利用了旋转因子的对称性,很好地降低了DFT的复杂度。FFT有时间抽取(DIT)和频率抽取(DIF)两种。
     (7)对于离散序列的z变换,如果将z用exp(j*数字角频) 做变量替换,则z变换退化为DTFT

       




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