上周（2022年5月5日）讲《拓扑场论》，讲到自旋玻璃的相变。为了让大家了解这个相变的本质，我讨论了下面的具有长程相互作用的自旋模型

\begin{equation}H = -{J \over 2N} \sum_{ij} \sigma_i \sigma_j, \quad J>0, \quad \sigma_i = \pm 1.\end{equation}

其中$N$为总格子数。这个模型是SK模型（Shrington, Kirkpatrick, 1975）的简化版本，但是包括了最本质的东西。但是我的讲法稍微不同---这也是在上课的时候分析这个解的时候灵机一动发现的。我们计算配分函数

\begin{equation}Z = \text{Tr} \exp({\beta J \over 2N} \sum_{ij} \sigma_i \sigma_j).\end{equation}

利用下面的分解

\begin{equation}\sum_{ij} \sigma_i \sigma_j = (\sigma_i \sigma_i)^2 - N = m^2-N.\end{equation}

可以得到

\begin{equation}Z = e^{-\beta J/2} \text{Tr} \exp({\beta J \over 2N} m^2).\end{equation}

对上面的结果的分析会很有趣，也非常关键。我们对自旋求迹（Trace）, 它是一个$2^N$维的很大的空间。但是这个求和只和$m$有关，而且我们定义的平均值

\begin{equation}m = \sum_i \sigma_i,\end{equation}

其实是一个随机数。这个随机数满足

\begin{equation}\langle m \rangle =0, \quad \langle m^2\rangle = N.\end{equation}

熟悉大数定理和中心极限定理的同学马上会发现，这个求和可能是一个极其复杂的计算（考虑包括$m^4$等情况时），但是它可以用一个简单的一维积分代替，即

\begin{equation}Z = e^{-\beta J/2} \int dm P(m) \exp({\beta J \over 2N} m^2).\end{equation}

这个技巧和计算态密度时对动量的积分化为能量的积分是类似的。它是同一个问题不同角度描述而已。根据中心极限定理，$P(m)$是高斯函数，它满足
\begin{equation}P(m) = {1 \over \sqrt{2\pi N}}  \exp(-{m^2 \over 2N}).\end{equation}

这个配分函数的积分存在两个情况，它可能是存在的，有限的； 也有可能是发散的，或者很大值。这个积分存在的条件为

\begin{equation}-{m^2 \over 2N} + {\beta J \over 2N} m^2 < 0.\end{equation}

它对应正常相，它在高温情况下存在

\begin{equation}\beta J < 1, \quad k_B T> J.\end{equation}

这是一个非常漂亮的解释，学生可以很容易理解。这里我们没有遵循标准的求解方法（Edwards, Anderson, 1975），尽管我非常仔细阅读了这些论文，在课前也做了大量准备。确定了这个配分函数，则可以得到自由能$F = U-TS$，从而确定$U$,  $S$,  $C_v$以及磁化率$\chi$等，并证明在正常相磁化率满足Cuire-Weiss定律。上面的计算我没有考虑磁场的情况，如果考虑磁场，这个积分变为

\begin{equation}Z = e^{-\beta J/2} \int dm P(m) \exp({\beta J \over 2N} m^2 + \beta h m).\end{equation}

其它计算过程不改变。这堂课，我用一个直观的图像来理解自旋玻璃的相变，同时把这个过程和中心极限定理联系在一起，也算是教学中的一点怡然自得的乐趣。

（图片来自网络）