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物理中的几个有趣的随机微分方程

已有 2099 次阅读 2022-5-11 20:50 |系统分类:科研笔记

这里总结几个随机模型和随机方程,目的是呈现随机方程是如何从单变量方程演化为场的随机方程的。把它们放在一起,这样读者可以用类比方法理解它们。

  1. Brown运动: Einstein方程、朗之万方程等

    \begin{equation} m\ddot{x} = -\dot{x}/\mu + f + \xi, \quad \langle \xi\rangle =0, \quad \langle \xi(t)\xi(t')\rangle = D \delta(t-t').\end{equation}

    $f$为梯度力,它可以写成$f = -\nabla U$($U$为外势),$\xi$为随机力。过阻尼情况下,$\ddot{x} =0$, 这个随机方程简化为

    \begin{equation} \dot{x} = \mu (f + \xi), \quad \langle \xi\rangle =0, \quad \langle \xi(t)\xi(t')\rangle = D \delta(t-t').\end{equation}

    这个方程的解(分布)满足

    \begin{equation}{\partial P(x, t) \over \partial t} = D {\partial \over \partial x} e^{-\beta U}   {\partial \over \partial x} P.\end{equation}

    我们可以把这个方程的变量重新定义(在场中,坐标用$x$表示),$x\rightarrow \phi$,可以得到

    \begin{equation} \dot{\phi} = \mu (f + \xi), \quad \langle \xi\rangle =0, \quad \langle \xi(t)\xi(t')\rangle = D \delta(t-t').\end{equation}

    上面讨论的是经典随机方程,本文不讨论量子朗之万方程(见补充说明)。随机微分方程是一个很大的领域,我国王明贞(女,1906年10月3日-2010年8月28日)做了非常重要的工作,下面的描述来自百度介绍:

    ---  1942年,她的博士论文“玻耳兹曼方程不同解法的研究”,研究了玻耳兹曼方程不同解法并首次独立地从福克—普朗克方程和克雷默方程中导出自由粒子和简单谐振子的分布函数。根据她的博士论文,她和导师于1945年在美国《近代物理评论》上发表了一篇论文,题为“布朗运动的理论”。进而推导出自由粒子和简单谐振子的布朗运动。这篇文章发表后,被经常、广泛地引用,50多年来一直作为研究布朗运动的最主要的文章之一,仍然被频繁引用。以1994年以来SCI中所记载为例,上述论文被引用情况为:1994年26次,1995年24次,1996年35次,1997年37次。除物理学以外,它还被广泛应用在通讯、生物等很多方面。这篇论文被列入《20世纪上半叶中国物理学论文集粹》一书中,其主要部分已译成中文。

  2. Edwards-Wilkinson(EW)模型

    如果考虑一个场,那么上面的$\phi$和坐标$x$和时间$t$有关,即$\phi = \phi(x, t)$。最简单的随机微分方程模型为

    \begin{equation}{\partial \phi(x,t) \over \partial t} = \nu {\partial^2 \phi(x,t) \over \partial x^2} + \xi.\end{equation}

    这个模型即为著名的EW模型(1982年),它可以描述界面的生长。有人把这个方程变为分数维度,即

    \begin{equation}{\partial \phi(x,t) \over \partial t} = \nu {\partial^\alpha \phi(x,t) \over \partial x^\alpha} + \xi.\end{equation}

    现在依旧有很多人研究这个模型的性质。它简单、漂亮而深刻。

  3. Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)模型

    KPZ三人(1986年,见下面的PPT)推广了EW模型; 这里Z为张翼成。他们考虑

    \begin{equation}{\partial \phi(x,t) \over \partial t} = \nu {\partial^2 \phi(x,t) \over \partial x^2} + {\lambda\over 2} ({\partial \phi \over \partial x})^2+  \xi.\end{equation}

    这个模型和EW模型相比,多了一个非线性项,它至关重要。KPZ方程成为动力学系统、非线性微分方程的重要研究内容。Parisi获得2021年Nobel物理学奖的时候,就提到了这篇论文。有趣的是,Parisi在中国访问的时候和吴咏时(尤他/Utah大学、复旦大学)教授用中文写了一篇随机量子化的论文,吴老师对这段历史有精彩的回忆。

    这个模型的涨落会表现出某些标度行为,比如

    \begin{equation} W(L, t) = {1\over L} \sum_x \langle  (\phi(x, t) - \bar{\phi})^2\rangle \sim t^\beta.\end{equation}

    这个过程需要和中心极限定理相比较,因为在Brown运动中,它的涨落满足

    \begin{equation} \sigma = \langle x^2\rangle =2 D t. \end{equation}

    对于Brown运动,$\beta =1$。在KPZ中,这个指数可以为其它普适常数。

  4. Kuramoto-Sivashinsky 模型

    1984年Kuramoto(藏本), 1977年Sivashinsky考虑了下面的K-S方程(它比KPZ方程早,但KPZ更本质)

    \begin{equation}{\partial \phi(x,t) \over \partial t} = \nu {\partial^2 \phi(x,t) \over \partial x^2} + {\lambda\over 2} ({\partial \phi \over \partial x})^2 - \kappa {\partial^4 \phi(x,t) \over \partial x^4} +   \xi.\end{equation}

    这个方程没有KPZ有名;可以参考“Kuramoto-Sivashinsky与Karda-Parisi-Zhang模型中生长界面分形特性研究“,齐红基等,物理学报,  2003。可以想象,数学中其它非线性微分方程也可以转变为相应的随机微分方程,比如肯定有人研究随机sine-Gordon方程。这个随机项为微分方程打开了一扇新的窗户。

  5. Kuramoto (藏本)模型(1975年)

    这个模型讨论$N$个振子的同布问题,原则上和上面的随机方程无关。但是它也可以引入噪声写成随机方程的形式,即

    \begin{equation} \dot{\theta}_i(t) = \omega_i + {K\over N} \sum_j \sin(\theta_i(t) - \theta_j(t)) + \xi_i.\end{equation}

    它可以描述化学振子、生物振子中的同布现象(比如萤火虫同布发光等),现在有广泛应用,成为研究同布现象的重要模型。它和EW模型不同,是它的另外一个极端。百度词条对它有详细介绍:见百度词条之藏本模型

  6. 推广到其它多体模型和量子模型

    比如XXZ模型,Ising模型,Heisenberg模型,$\phi^4$模型,Luttinger模型, Lieb–Linger模型等。把KPZ方程推广到量子力学多体模型中,并讨论它的物理,是非常有趣的前沿问题---这个问题太难了。

    评论:数学和物理在发展过程中一直互相影响,互相哺育。有些时候数学会影响物理,有时候物理会影响数学。KPZ方程可能是一个非常典型的物理影响数学的例子。这个方程的求解非常复杂,需要用到动态重整化群理论,我们以后再仔细讨论它的解。遗憾的是,严格可解的随机微分方程太少了。

    补充说明:量子信息中有两个著名的随机微分方程,即跃迁算子和Lindblad方程,以及量子朗之万方程。以后我们会仔细讨论。这些问题中有几个著名的模型,比如spin-boson模型,以及Caldeira-Leggett模型。但是目前都还不需要用重整化群理论研究它们。


    kpz.png

  (图片来自网络,Prof.  Jeremy Quastel, Department of Mathematics, University of Toronto)



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