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经典文献:Kuramoto模型 精选

已有 5277 次阅读 2022-5-14 15:34 |系统分类:论文交流

有些论文很短,可能只有1 -2页纸,但是它们在历史上有重要的地位。我们可以称这样的论文为经典论文。就像诗词一样,一些长而华丽的篇章,未必那么有思想,有价值;但是一些短小的诗词,可能短短一二十字,却在历史上有重要地位。传递一个思想,不一定需要很多的文字和推导。

1975年,日本物理学家藏本由纪(Yoshiki Kuramoto)写了一篇两页纸的论文。在这篇文章中,他提出了一个简单的非线性模型来描述一些集体现象。他的出发点为下面的模型
\begin{equation}\dot{Q} = (i\omega+ \alpha) Q - \beta |Q|^2 Q.\end{equation}

这个模型有孤立子解,是一种典型的集体行为。作者将这个模型推广到$N$个独立振子的情况,所以有

\begin{equation}\dot{Q}_s = (i\omega_s + \alpha) Q_s + \sum_{r} v_{rs} Q_r - \beta |Q_r|^2 Q_r, \quad r, s = 1, \cdots, N. \end{equation}

第二项为不同振子之间的耦合。这个问题可能已经被Winfree等人在生物中研究过了(Winfree, J. Theor. Biol. 16, 15 (1967))。藏本的洞见---灵机一动---在于他做了如下的假设,从而让这个模型只由几个(3个)最简单的参数描述

  1. $v_{rs} = v/N$;

  2. $\alpha$, $\beta \rightarrow \infty$,  但是$\alpha/\beta$, $\omega_s$, $v$有限;

  3. $N\rightarrow \infty$;

作者假设$Q_s = \rho_s e^{i\varphi_s}$。利用第二条性质,关注长时间的行为,$\rho_s$不变,可以确定

\begin{equation}\rho_s = \sqrt{\alpha/\beta},\end{equation}

从而得到下面的著名的Kuramoto模型

\begin{equation}\dot{\varphi}_s = \omega_s + {v\over N} \sum_{r} \sin(\varphi_r - \varphi_s). \end{equation}

这个模型的推导就结束了,只有几行字。历史上这样的成功的例子还有很多。但是,这篇文章从一个非常简单的模型出发,得到了一个漂亮的解。他抓住了某种本质的东西。


我们先讨论它的极端情况,并对这个模型获得一些感性上的认识。这是一个具有普遍价值的方法,我们在教材中经常用到。如果$\omega_s = \omega$,即所有振子的频率是一样的,那么这些振子的独立的自由运动,它们的解为

\begin{equation}\varphi_s = \omega t +c. \end{equation}

这是一个典型的同步过程。反之,如果这些频率都不同,并假设$v $很小,则所有振子都不规则运动,并且

\begin{equation}\varphi_s = \omega_s t + c_s. \end{equation}

这代表另外一个极端的情况,即非同步解释。 如果$v$不是很大,不同频率的振子在长时间的平均下是没有耦合的,因为$\langle \sin(\delta \omega t) \rangle \sim 0$。反之,如果$v$非常大,它倾向于让所有振子同步运动,否则它们的振动频率会变化很大,而且完全没有规律。


下面给出作者的解。作者假设$\omega_s$满足Lorentz分布,频率中心为$\omega_0$,展宽为$\gamma$, 于是定义

\begin{equation} \eta ={2|\gamma| \over v}, \quad \eta_c = 1. \end{equation}

$\eta$越小,同步越容易;$\eta$越大,同步越难。这个模型有两种可能的解:同不和非同步。假设$\eta < 1$:

(A): 同步解, $|\omega_s - \omega_0| < v \sqrt{1-\eta}$;

(B):非同步解,$|\omega_s - \omega_0| > v \sqrt{1-\eta}$;

如果定义序参量,它为(A)中同步的振子在所有振子中的比例(和具体分布的细节无关),那么

\begin{equation} \sigma = {2\over \pi} \tan^{-1} {2\sqrt{1-\eta} \over \eta}, \quad \eta < 1. \end{equation}

这个参量是$\eta$的函数,和其它参数的形式无关。如果$\eta \rightarrow 1$,有$\sigma = 2 \sqrt{1 - \eta}$。如果$\eta > 1$ (对应情况 B ),  这些振子不能同步,所以$\sigma = 0$。短短两页,作者完成了模型的推导、结论的总结、并定义了序参量。这是一篇完整的论文。唯一遗憾的是,作者没有给出推导的细节,这是读者可以补充的。

体会: 我在2019年《计算物理》中系统介绍过这个模型,并要求学生做数值模拟---这是一个很好的计算题。当时我参考的就是这篇文章;但是推导的过程是其它文献。在此我不补充这些计算细节,  因为有大量的文章和综述介绍这个模型的解的推导过程。在习题中,我要求学生计算如下的模型

\begin{equation}\dot{\varphi}_s = \omega_s + {v\over N} \sum_{r} \sin(\varphi_r - \varphi_s) + \xi_s. \end{equation}

其中$\xi_s$是随机数。这篇文章简洁、漂亮、清晰,尽管不是发表在很好的杂志上,却在历史上发挥了关键作用---今天依旧是很多人的研究重点。这真是一个灵机一动的好想发, 作者用最简单的参数,舍弃掉很多细节,抓住了最本质的东西。目前我们有很多的计算越来越细致,结果/现象也越来越复杂,但是它们离本质也越来越远了。如何从复杂的现象中得到某些本质的东西,这考验一个人的洞见能力,也是我们应该孜孜不倦追求的目标。

k2.png

Kuramoto模型中的同步现象和序参量。在一般文章中定义,$r = |\sum_j e^{i\theta_j}|/N$,如果只考虑同布的振子,它们有相同的振动频率,则$r \simeq \sigma$。常数 $K = v$。)

ku2.png

Prof. Yoshiki Kuramoto

Kuramoto, Y. (1975).  Self-entrainment of a population of coupled non-linear oscillators.  In: Araki, H. (eds) International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics. Lecture Notes in Physics, vol 39. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/BFb0013365

Kuramoto原始文献: Kuramoto1975.pdf


Kuramoto模型方面的综述

[1]. Rodrigues et al, The Kuramoto model in complex networks. Physics Reports, 610. 1- 98 (2016).

[2]. Arenas et al, Synchronization in complex networks. Physics reports, 469, 93-153 (2008).




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