固体力学是研究可变形固体在外界因素作用下所产生的位移、运动、应力、应变和破坏等的力学分支。固体力学一般包括材料力学、结构力学、弹性力学、塑性力学、 断裂力学、复合材料力学、弹性波和结构振动等。

自然界中存在着大至天体、小至粒子的固体和各种固体力学问题。人所共知的山崩地裂、沧海桑田都与固体力学有关。现代工程中，无论是飞行器、船舶、坦克，还是房屋、桥梁、水坝、原子反应堆以及日用家具，其结构设计和计算都应用了固体力学的原理和计算方法。

固体力学是在牛顿在陈述运动定律方面取得巨大成就之后，在数学和物理研究的涌现中发展起来的，尽管它有更早的根源。了解和控制固体断裂的需要似乎是第一个动机。达芬奇在他的笔记本上勾勒出一个可能的金属丝拉伸强度测试。伽利略死于牛顿出生的那一年（1642年），他研究了拉杆在张力下的断裂载荷，并得出结论，载荷与长度无关，与横截面面积成正比，这是迈向应力概念的第一步。他还研究了从墙壁水平悬挂的梁上的断裂载荷。

 应力、应变和弹性的概念

英国科学家罗伯特·胡克（Robert Hooke）在1660年发现，但直到1678年才发表，对于许多材料来说，载荷下的位移与力成正比，从而建立了（线性）弹性的概念，但尚未以一种可以用应力和应变来表达的方式。法国的埃德梅·马里奥特（Edme Mariotte）在1680年发表了类似的发现，此外，还了解了像伽利略研究的那些梁如何抵抗横向载荷，或者更准确地说，是如何通过沿材料纤维的上部和下部分别产生拉伸和压缩变形来抵抗这些横向载荷引起的力矩的。瑞士数学家和力学家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）在1705年他生命的最后一篇论文中观察到，描述变形的正确方法是给出每单位面积的力，或应力，作为材料纤维在张力下每单位长度或应变的函数。瑞士数学家和力学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在雅各布的兄弟约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的指导下学习数学，他在许多贡献中提出了应力σ和应变ε之间的线性关系，其形式为σ = Eε，其中系数E现在通常被称为杨氏模量，以英国博物学家托马斯·杨的名字命名，他在1807年提出了一个相关的想法。

1684年德国数学家和物理学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，以及1691年雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli），表达了在变形固体表面上存在内部张力的概念。此外，雅各布·伯努利和欧拉提出了这样一种观点，即在沿着梁长度的给定截面，存在相当于净力和净力矩的内部张力（见下文）。欧拉在1752年引入了压缩正应力作为流体中压力的想法。法国工程师和物理学家查尔斯-奥古斯丁·库仑（Charles-Augustin Coulomb）显然是第一个将梁理论作为弯曲的弹性线与实际梁中的应力和应变联系起来的人，这种方式从未被伯努利完全实现过，尽管可能得到认可，但从未被欧拉发表过。他提出了著名的表达式σ= My / I，表示由于均匀线性弹性梁的纯弯曲引起的应力。法国数学家Antoine Parent在1713年引入了剪切应力的概念，但库仑是广泛发展这一想法的人，首先是与梁以及1773年的土壤应力和破坏有关，然后在1779年进行了摩擦滑移的研究。

伟大的法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）最初是一名工程师，他于1822年在广义三维理论的背景下正式确定了应力的概念，推导出了连续体的运动方程，发展了各向同性固体的线性弹性理论。作为他在这一领域工作的一部分，柯西还引入了方程，用位移的导数来表示应变的六个分量（三个拉伸和三个剪切）；欧拉早些时候在用流体中速度场的导数来表示应变速率时，也给出了类似的表达式。

 梁、柱、板和壳

18世纪和19世纪初是一个富有成效的时期，在19世纪20年代通用三维理论开始之前，简单弹性结构元件的力学就已经发展成熟。欧拉（Euler）以及伯努利家族的几个成员和库仑（Coulomb）将梁建模为抵抗弯曲的弹性线，其梁理论的发展仍然是固体力学最直接有用的方面之一，部分原因是其简单性，部分原因在于梁和柱在结构技术中的普及性。雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）在他1705年的最后一篇论文中提出，梁的曲率与其力矩成正比。1744年的欧拉和约翰的儿子丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）在1751年使用该理论来解决梁的横向振动，1757年，欧拉对承受压缩载荷的初始直梁的屈曲进行了著名的分析；这种梁通常被称为柱。根据丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）在1742年的建议，欧拉在1744年引入了梁每单位长度应变能的概念，并表明它与梁曲率的平方成正比。欧拉认为总应变能是类似于离散机械系统的势能的量。通过采用在分析力学中越来越熟悉的程序，并遵循约翰·伯努利（Johann Bernoulli）于1717年为铰接的刚体等离散系统引入的虚功原理，欧拉使能量平稳，并以此方式发展了变分法，作为弹性结构平衡和运动方程的一种方法。

同样的变分方法在19世纪早期法国数学家发展弹性板的小横向位移和振动理论中发挥了重要作用。这一理论由索菲·日尔曼（Sophie Germain）以初步形式提出，西梅·丹尼斯·泊松（Siméon Denis Poisson）在18世纪10年代早期也对其进行了研究；他们认为平板是抵抗曲率的弹性平面。几年后，克劳德·路易斯·玛丽·纳维（Claude Louis Marie Navier）给出了正确的能量表达式和控制微分方程的决定性发展。1850年，普鲁士物理学家古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff），在简化运动学假设的框架内应用了虚功和变分计算程序，即纤维最初垂直于板的中表面，在该表面变形后仍然保持垂直。

17世纪70年代，欧拉迈出了薄壳理论的第一步；他将初始弯曲梁的变形称为弹性线，并对环形梁阵列的弹性钟形结构的振动进行了简化分析。约翰的孙子雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）在他生命的最后一年进一步发展了这个模型，作为一个二维的弹性线条网络，但他无法开发出一种可以接受的方法。在欧拉研究的一个世纪后，壳理论才再次引起人们的注意。从三维弹性角度对壳体的第一次考虑是由赫尔曼·阿隆在1873年提出的。适用于一般情况的小变形的薄壳理论，然后，1888年英国数学家、力学家和地球物理学家奥古斯特斯·爱德华·霍夫·洛夫，以及1890年英国数学家和物理学家霍勒斯兰姆，进一步的发展。 壳体理论在1900年代中期之后仍然引起了巨大的兴趣，部分原因是许多问题超出了线性理论，部分原因是航空技术对这种轻质结构形式的兴趣。

 弹性力学

线性弹性作为一种通用的三维理论，于19世纪20年代初在柯西的工作基础上开始发展。与此同时，纳维发展了一种基于简单微粒或粒子物质模型的弹性理论，其中粒子通过粒子对之间的中心力吸引力与其邻居相互作用。正如人们逐渐认识到的那样，继19世纪20年代和30年代Navier、Cauchy和Poisson的工作之后，粒子模型过于简单，并对实验未达到的弹性模量之间的关系进行了预测。该学科随后的大部分发展都是基于连续体理论。1837年，英国数学家乔治·格林（George Green）解决了关于一般各向异性固体中独立弹性模量的最大可能数量的争议。格林指出，弹性应变能的要求在6个应力分量与6个应变分量相关的36个弹性常数中，最多21个是独立的。1855年，苏格兰物理学家凯尔文勋爵（Lord Kelvin）将这一考虑放在更为合理的基础上，作为他发展宏观热力学的一部分。

19世纪中后期是一个衍生出许多基本弹性解并应用于技术和自然现象解释的时期。法国数学家Adhémar Jean-Claude Barréde Saint Venant在19世纪50年代推导出了非圆形圆柱体扭转的解，这解释了横截面在平行于扭转轴的方向上发生翘曲位移的必要性，以及横梁因横向载荷而发生弯曲的必要性；后者允许理解雅各布·伯努利、欧拉和库仑的简单梁理论中固有的近似。德国物理学家海因里希·鲁道夫·赫兹（Heinrich Rudolf Hertz）为弹性固体接触时的变形开发了解决方案，并将其应用于冲击碰撞的细节模型。Kelvin导出了作用于全空间内点的集中力引起的应力和位移的解，而那些作用在半空间表面上的解是由法国数学家约瑟夫·瓦伦丁·布辛斯克和意大利数学家瓦伦蒂诺·塞鲁蒂推导出来的。普鲁士数学家利奥·奥古斯特·波赫哈默（Leo August Pochhammer）分析了弹性圆柱体的振动，兰姆和普鲁士物理学家保罗·耶里施（Paul Jaerisch）在19世纪80年代推导出了弹性球体的一般振动方程，许多地震学家在1900年代继续这一努力来描述地球的振动。1863年，开尔文推导出了球形固体静态弹性方程解的基本形式，并在随后的几年中将其应用于计算地球由于旋转和潮汐强迫引起的变形以及测量弹性变形性对地球自转轴运动的影响等问题。

 波

泊松、柯西和乔治·斯托克斯表明，一般弹性理论的方程预测了两种类型的弹性变形波的存在，它们可以通过各向同性的弹性固体传播。这些被称为体波。在较快的类型中，称为纵波，膨胀波或无旋波，粒子运动的方向与波传播的方向相同；在较慢的类型中，称为横波，剪切波或旋转波，它垂直于传播方向。横波不存在通过流体介质传播的类似物，这一事实导致地震学家在1900年代初了解到地球有一个液态核心（其中心有一个固体内核）。

瑞利勋爵在1885年表明，有一种波类型可以沿着表面传播，使得与波相关的运动随着从表面进入材料的距离呈指数级衰减。这种类型的表面波，现在称为瑞利波，通常以略高于横波速度的90%传播，并涉及一条椭圆的质点运动路径，该路径位于平行于由表面法线和传播方向定义的平面中。Love发现了另一种类型的表面波，其运动横向于传播方向，平行于表面，适用于固体，其中材料表层位于弹性较硬的大块固体之上；这就决定了地壳的状况。地震中的震动首先通过体波传播到遥远的地方，但这些体波在三维空间中传播，表面波只在两个维度上扩散开来。在中等到大距离下，地壳地震产生的地表波的震动效应通常感觉更强烈，并且可能更具破坏性。事实上，早在固体中的波动理论出现之前，托马斯·杨（Thomas Young）在他1807年关于自然哲学的讲座中就曾提出，地震的震动“可能以与噪声通过空气传播相同的方式在地球上传播”。美国数学家和天文学家约翰·温思罗普（John Winthrop）在经历了1755年的“波士顿”地震后，提出地面震动是由于一种像声音一样在空气中传播的干扰。

随着基于压电原理的超声波换能器的发展，弹性波的反射和散射测量已发展成为一种有效的工程技术，用于无损评估材料，以检测裂缝等潜在危险缺陷。此外，无论是陨石碰撞、武器装备还是爆破等技术活动中产生的强烈冲击，都会诱发波，其中材料响应可能远远超出线弹性范围，涉及任何或所有有限的弹性应变，塑性或粘塑性响应以及相变，这些被称为冲击波；它们的传播速度远远超过线弹性波的速度，并伴随着显著的加热。

 断裂力学

断裂力学又称断裂理论，研究工程结构裂纹尖端的应力场和应变场，并由此分析裂纹扩展的条件和规律。许多固体都含有裂纹，即使没有宏观裂纹，物体内部的微观缺陷(如微孔、晶界、位错、夹杂物等)也会在载荷作用、腐蚀性介质作用，特别是交变载荷作用下，发展成为宏观裂纹。所以，断裂理论也可说是裂纹理论，它所提出的断裂韧度和裂纹扩展速率等，都是预测裂纹的临界尺寸和估算构件寿命的重要指标，在工程结构上得到广泛应用。研究裂纹扩展规律，建立断裂判据，控制和防止断裂破坏是研究断裂力学的目的。

1898年，G.Kirsch推导了远均匀拉伸应力下更大的板中圆孔周围的应力分布的解。同样的解决方案也适用于大块固体中圆形截面的隧道状圆柱腔。当远端应力为单轴拉伸时，Kirsch的解在边界处显示出显著的应力集中，集中系数为3。1907年俄罗斯数学家Gury Vasilyevich Kolosov和1914年英国工程师Charles Edward Inglis分别推导了椭圆孔周围应力的类似解。他们的解决方案表明，当孔的曲率半径与孔的总长度相比变小时，应力集中可能会变得更大。这些结果提供了洞察力，使工程师们认识到，在名义应力处于其他安全水平的结构中，尖角、缺口、切口、键槽、螺纹和类似开口处可能存在危险的应力集中。

Kolosov和Inglis椭圆孔定义了一个半长轴归零时的极限裂纹，1921年英国航空工程师a.a.Griffith采用了Inglis解来描述脆性固体中的裂纹。在这项工作中，格里菲斯提出了一个著名的命题，即当弹性场释放的能量刚好平衡固体表面分离所需的功时，就会发生自发裂纹扩展。格里菲斯的工作最初被认为只对玻璃等非常脆的固体有重要意义，在一个犹豫的开始之后，在美国工程师和物理学家乔治·埃尔文的推动下，主要发展了裂纹扩展和断裂力学的主要工作，包括疲劳断裂和应力腐蚀断裂，始于20世纪40年代末，一直延续到20世纪90年代。这最初是由二战期间美国自由号多艘船只的开裂、英国彗星飞机的故障以及航空航天和核反应堆技术中出现的一系列可靠性和安全问题造成的。该课题的新面貌超越了格里菲斯能量理论，在工程实践中最简单、应用最广泛的版本中，使用欧文的应力强度因子作为预测载荷下裂纹生长响应的基础，这些实验室数据与该因子相关。应力强度因子是裂纹尖端附近应力场的线弹性解中的特征奇异系数；尽管由于非弹性材料响应、大应变和材料微观结构的离散性，在裂纹尖端附近的线弹性解在细节上肯定是错误的，但它在许多情况下都能提供裂纹尖端应力的正确表征。

 塑性力学

塑性流动的宏观理论的历史几乎与弹性理论的历史一样悠久。而在材料微观理论中，“塑性”一词通常被解释为表示位错过程引起的变形，在宏观连续介质力学中，它被认为是指材料的任何类型的永久变形，尤其是那些变形时间或速率效应不是现象最主要特征的类型（在这种情况下通常使用粘塑性、蠕变或粘弹性术语）。库仑1773年关于剪切和法向应力下土壤摩擦屈服的工作，已经提出屈服表示发生了较大的剪切变形，但施加的应力没有显著增加。他的结果被用来解释法国数学家和工程师让·维克多·庞塞莱（Jean Victor Poncelet）在1840年的工作中以及苏格兰工程师和物理学家威廉·约翰·麦考恩·兰金在1853年的工作中土壤对挡土墙和地基的压力。土壤和岩石的非弹性变形经常发生在变形体被地下水渗透的情况下，奥地利裔美国土木工程师Karl Terzaghi在1920年代发展了有效应力的概念，根据这一概念，进入屈服或破坏标准的应力不是施加在饱和土壤或岩体上的总应力，而是有效应力，它们是总应力与压力等于孔隙流体压力的纯静水压力状态下的总应力之间的差值。太沙基还引入了固结的概念，根据达西定律，只有当流体在压力梯度下缓慢流过孔隙空间时，才能对流体饱和土壤进行压缩；这种效应解释了粘土上建筑物的时间相关沉降。

除了早期在钢筋拉伸试验中观察到大应力下的塑性流动外，金属材料的连续塑性理论始于1864年的Henri Edouard Tresca。他对金属压缩和压痕的实验使他提出，与土壤中的塑性相比，这种塑性类型，基本上与材料中的平均正应力无关，仅依赖于剪切应力，这一特征后来被位错机制合理化了。Tresca提出了一个基于材料最大剪切应力的宏观各向同性金属多晶屈服准则，Saint-Venant使用该准则来解决早期的弹塑性问题，即部分塑性圆柱体的扭转问题，以及压力下完全塑性管中的应力问题。

1920年和1921年，德国应用力学家路德维希·普朗特尔（Ludwig Prandtl）利用平端刚性压头分析韧性固体的压痕，发展了平面塑性流动理论的雏形，由此产生的塑性滑移线理论由H.Hencky于1923年和Hilda Geiringer于1930年完成。其他发展包括塑性极限分析方法，这使得工程师可以直接计算结构的塑性倒塌荷载或金属成型所需的力的上下限。这些方法是在20世纪初逐渐发展起来的，基本上是基于直觉的，最初用于简单的梁结构，后来用于板，并在美国的丹尼尔·德鲁克（Daniel C.Drucker）和威廉·布拉格（William Prager）以及英国的罗德尼·希尔（Rodney Hill）于1950年前后迅速发展起来的塑性数学理论中建立了严格的基础。

奥裔美国人应用数学家理查德·冯·米塞斯（Richard von Mises）于1913年提出，与基于Tresca屈服准则的塑性理论相比，塑性理论在数学上更为简单，它可以基于偏应力的第二张量不变量（即总应力减去静水状态的张量不变性，其中压力等于所有平面上的平均法向应力）。波兰工程师Maksymilian Tytus Huber独立提出了等效屈服准则。米塞斯理论包含了M.Levy于1871年提出的一项建议，即塑性应变增量张量的分量与偏应力的分量成比例。通常发现，与Tresca的标准相比，该标准与实验的一致性稍好一些，并且大多数关于塑性理论应用的工作都采用了这种形式。根据Prandtl的建议，E.Reuss于1930年通过添加应变增量的弹性分量来完善该理论，与线性弹性响应的应力增量相同。这一公式很快被推广到包括应变硬化，由此，持续屈服的第二不变量值随着持续的塑性变形而增加，并通过假设塑性应变率的第二不变量（现在通常称为“蠕变”）是偏应力的相同不变量的函数，扩展到金属或其他热固体中的高温蠕变响应，通常是具有阿伦尼乌斯温度依赖性的幂律型。

这种塑性和粘塑性（或蠕变）响应的公式已应用于材料和结构技术以及地质体流动的所有问题。所解决的典型问题包括金属韧性断裂中微观孔隙的增长和随后的合并、压痕硬度试验理论、金属棒的挤压和金属板的轧制、韧性钢结构的抗倒塌设计、格陵兰冰原厚度的估算、，并模拟西藏高原的地质演化。用于分析韧性单晶的其他类型的弹塑性理论源自G.I.Taylor和Hill的工作，屈服标准基于E.Schmid在20世纪20年代提出的沿晶体滑移面的临界切应力的概念，沿着该平面上允许滑移的方向；这种屈服条件得到了塑性位错理论的近似支持。

 复合材料力学

固体力学的一个新兴分支，它研究由两种或多种不同性能的材料，在宏观尺度上组成的多相固体材料，即复合材料的力学问题。复合材料具有明显的非均匀性和各向异性性质，这是复合材料力学的重要特点。复合材料由增强物和基体组成，增强物起着承受载荷的主要作用，其几何形式有长纤维、短纤维和颗粒状物等多种；基体起着粘结、支持、保护增强物和传递应力的作用，常采用橡胶、石墨、树脂、金属和陶瓷等。

在自然界中，存在着大量的复合材料，如竹子、木材、动物的肌肉和骨骼等。从力学的观点来看，天然复合材料结构往往是很理想的结构，它们为发展人工纤维增强复合材料提供了仿生学依据。人类早已创制了有力学概念的复合材料。例如，古代用稻草或麦秸增强盖房用的泥墙；以混凝土为标志的近代复合材料是在一百多年前出现的，其中的钢筋提高了混凝土的抗拉强度。玻璃纤维、碳纤维、硼纤维复合材料的出现，复合材料的力学研究工作由此得到很大发展，并逐步形成了一门新兴的力学学科——复合材料力学。后来，又研制出金属基和陶瓷基的复合材料。

 计算力学

数字计算机彻底改变了许多工程和科学领域的实践，固体力学是最先受益于其影响的领域之一。在这个领域已经使用了许多计算技术，但到70年代末出现的最广泛采用的是有限元法。1943年，数学家理查德·库兰特（Richard Courant）概述了这种方法，并于20世纪50年代中期，由美国的航空结构工程师M.J.Turner、Ray W.Clough、Harold Clifford Martin、LeRoy J.Topp和英国的J.H.Argyris和Sydney Kelsey独立开发并在计算机上实际应用。他们的工作源于早期对梁单元复杂框架进行系统结构分析的尝试。该方法很快在变分框架中重新铸造，并与早先推导由变分原理描述的问题近似解的努力有关。新技术涉及将未知振幅的试函数替换为变分泛函，然后将其作为振幅系数的代数函数来表示为平稳函数。在最常见的有限元方法中，要分析的区域被划分为单元或单元，每个单元内的位移场根据单元边界（有时也包括单元边界内）附近几个点的位移插值，这些点称为节点。插值是为了使位移场在任何节点位移选择的单元边界上都是连续的。因此，每个点的应变都可以用节点位移表示，然后要求与这些应变相关的应力，通过材料的应力-应变关系，满足节点位移任意变化的虚功原理。这将生成有限元模型中自由度尽可能多的联立方程，并且将求解此类方程组的数值技术编程用于计算机求解。