用最简单的方法证明数学分析极限一题

张卫 2013-12-4 12:36

1.$a_{n}$ 为有界数列，则：$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\leqslant\limsup_{n\to\infty}a_n$ 证: begin{eqnarray*} limsup_{ntoinfty}frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}\ leqslant limsup_{ntoinfty}frac{displaystylesup_{kgeqslant1 ...

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泛函分析中的点态收敛拓扑

张卫 2013-11-22 15:25

设 $X$ 是单位区间 $ $ 上的全体复函数的向量空间，用半范数族 $ p_{x}(f)=|f(x)| ,(0\leqslant x\leqslant 1)$ 拓扑化.这个拓扑称为点态收敛拓扑.验证这个术语的合理性.说明 $X$ 中存在序列 $\{f_{n}\}$ 使得：(1)当 $n\to\infty$ 时,$f_{n}$ 收敛于0 .但是，(2)若 $\{\gamma_{n}\}$ 是任何标量序列，$gamma_{n}toin ...

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一道北大选拔高中生的数学压轴题

张卫 2013-11-22 14:48

设 $f(x)$ 在 $ $ 上连续，且 $f(0)=f(3)$ . 证明：至少存在三对不同的 $x$ 和 $y$ 使得 $f(x)=f(y)$ 且 $x-y$ 为非零整数.

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几道概率习题

张卫 2013-11-18 22:56

1.证明 $\sigma$ 代数不可能是可数无穷的，即要么是有限的，要么是不可数的. 2.构造反例说明当 $\mu$ 不是 $\sigma$ 有限时，它从半集代数扩张到最小 $\sigma$ 代数上的扩张可能不唯一. 3.举例.非 Borel 集的 Lebesgue 可测集. 4.设 $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$ 为概率空间，$A\notin\mathscr{A}$.令 $ ...

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Lebesgue积分下，有限区间积分的极限不等于对应无穷区间L积分

张卫 2013-10-20 12:28

我们都知道 Lebesgue 积分不是 Riemann 广义积分的推广.在 Lebesgue 积分下有些很有意思的事情。比如 $$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\neq \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x\mbox{（L不可积）}$$ 这里 $$lim_{ntoinfty}int_{0}^{n}frac{si ...

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海莱第二定理的推广

张卫 2013-10-19 13:12

1.设分布函数列 $\{F_n\}_{n=1}^{+\infty}$ 弱收敛于分布函数 $F(x)$ , $g(x)$ 为有界连续函数，试证明： $$\lim_{n\to+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\mathrm{d}F_{n}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\mathrm{d}F(x)$$

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复分析判断根所在的象限

张卫 2013-10-19 12:55

1.给定方程 $z^4+z^3+5z^2+3z+4=0$ .证明：这个方程 (1)在第一象限中无根. (2)在第二、第三象限中各有两根.

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导函数的连续点稠密

张卫 2013-10-19 12:31

1. 设$f(x)$ 在 $ $ 上可微，证明: $f '(x)$ 的连续点在 $ $ 上稠密. （Hint: 连续函数列的极限函数的不连续点为第一纲集。）

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