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Zmn-0173 薛问天：有穷到无穷结果会完全不同-由林益的证明引发的联想

已有 1811 次阅读 2020-4-25 17:09 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0173 薛问天：有穷到无穷结果会完全不同-由林益的证明引发的联想

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

有穷到无穷结果会完全不同

-由林益的证明引发的联想

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

(一)，证明方法没错。

林益先生在《0153》中提供的关于实数不可数的证明方法没有错。在区间[A,B]（长度为l）中挖去可数个闭区间，规定第1个挖去的闭区间的长度是l的1/4，第2个是1/8，...，把这可数个闭区间挖完至多占l的(1/4)+(1/8)+...=(1/2)。这就证明了区间[A,B]中的实数不可数。因为如果全部实数可数，把它们含在上述的可数个闭区间中，将其全部挖完，只占去总长l至多1/2。在所剩的总长至少为l的1/2的区间中，其中至少还会有一个实数未被挖走，产生矛盾。这个证明是正确的没有问题。

关于林益先生对这种证明中【判断不可数的理论依据】所产生的质疑。他认为如果假定集合可数，将其元素所排的序列是2ω的序型时，则发现有集合的元素不在第一个ω中出现，并不产生矛盾，证明不了集合不可数。

显然这样的质疑不成立，是站不住脚的。因为按照集合可数的定义，如果可数则全体集合的元素完全可以按照ω的序型排序，所以在证明中就按ω的序型编排序列来证明就可以了。此时发现有集合的元素不在序列中就产生了矛盾，就可证明该集合不可数。按2ω或3ω，...的排序证明不了，但按ω排序就可以证明。为什么不按ω排序，非要按2ω或3ω，...的排序去证明呢？开汽车到不了海南島，并不能证明到不了，改乘飞机或坐渡轮总可以到的！

（二），受林益先生提出的这个证明的启发，联想到了一个从有穷到无穷结果完全不同的情况。这个例子提醒我们一定要注意区别有穷和无穷，不要随意将有穷时成立的定律，随意推广到无穷。

(1)，先从有穷情况谈起。在单位开区问(0,1)中挖走n个闭区间。设此n个闭区间的长度总和为A，因为允许闭区间可以有重叠。所以实际挖走的区间长度总和小于等于A。在开区间中挖走n个闭区间后剩下的是开区间，由于闭区间可能重叠，以及所处的位置，所以剩下的开区间的个数小于等于n+1。剩余区间的总和大于等于1-A。总结一下:下述定理成立:

【定理1】 在开区问(0,1)中挖走n个闭区间。剩下小于等于n+1个开区间，这些开区间的长度总和大于1-A，其中A是这n个闭区间的长度总和。

(2)，现在的问题是此定理可否将n推广到可数无穷。

【猜想定理】 在开区问(0,1)中挖走可数无穷个闭区间。剩下有穷个或可数无穷个开区间，这些开区间的长度总和大于1-A，其中A是这些个闭区间的长度总和。

这个由有穷想当然地推到无穷的【猜想定理】是对的吗？我可以证明它肯定是错的。因为如果它是对的，则可用此定理证明单位开区间中全体有理数集合不可数。

【证明】。用反证法。假定单位开区间(0,1)中的全体有理数可数，于是存在可数无穷多个闭区间，包含着这全体有理数，而且可以令这些闭区间的长度依次是1/4,1/8,1/16,...,1/2^(n+1),...。它们的长度总和是A=1/2。将这无穷多个闭区间从单位区间(0,1)中挖走。显然在单位开区间中将「不再剩有任何有理数」。

但是根据【猜想定理】，挖走后还剩下有穷个或可数无穷个开区间，这些开区间的长度总和大于1-A=1/2。既然这些开区间的长度总和大于1/2，就不可能所有开区间的长度都是0。我们知道只要有一个长度大于0的开区间，其中必有有理数存在。同上面推断的「不再剩有任何有理数」相矛盾。这就推断出反证法的假定不成立。于是单位区间(0,1)中的全体有理数不可数得证，证毕。

(3)，由于有理数是可数的，这已经是肯定的事实，所以从单位开区间中按上述证明挖走可数无穷多个闭区间后。不可能「剩下有穷个或可数无穷个开区间，这些开区间的长度总和大于1-A=1/2。」上述的【猜想定理】的结论是错误的。

那么剩下的是什么对象呢？

（a），不可能有长度大于0的开区间，也不可能有长度大于0的闭区间，因为否则可证明有理数可数。

（b），那有可能是至多可数无穷个长度为0的闭区间 (单独点)。但这也不可能，因为「有穷个或可数无穷个」长度为0的闭区间，它们的长度总和怎么能大于1/2呢？

(c)，于是只有一个最后的结论，剩下的是不可数无穷多个长度为0的闭区间 (单独点)。而且这些不可数无穷多个单独点测度等于1/2。

其实这个情况也不难理解，如果挖走的闭区间长度都为0，即挖走的是点。则在单位区间上挖走n个点，剩下的是n+1个开区间。但是挖走全部可数无穷多个有理数（测度等于0），则剩下的就是全部不可数个无理数（测度等于1）。

也就是说，在有穷情况下，剩下的是小于等于n+1个开区间。然而在无穷情况下，结果剩下的却是不可数无穷多个长度为0的闭区间 (单独点)。有穷到无穷结果完全不同。

所以上述例子说明，有穷到无穷的这个【延伸】，绝不仅仅是简单的延伸，而是一种飞跃，是一种质变。有时结果会完全不同。不要以为有穷时成立的定律，无穷时一定成立，不加证明地随意从有穷推广到无穷。

（全文完）

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