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Zmn-0682 薛问天:缺乏对逻辑的最基本认识,是沈卫国先生产生错误的主要原因。评《0649》

已有 208 次阅读 2021-9-24 13:23 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0682 薛问天:缺乏对逻辑的最基本认识,是沈卫国先生产生错误的主要原因。评《0649》

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对沈卫国先生《Zmn-0649》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

缺乏对逻辑的最基本认识,是沈卫国先生

产生错误的主要原因。评《0649》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg沈卫国先生有他的优点,喜欢写些文章,发表一些他自己的㸔法。但他没有发现他的一个重要缺陷,就是他在逻辑上,缺乏一些最基本的认识,从而常犯错误。严童的是他沒有认识刭他的错误,以为他是对的,所以很难改正。

 

一,关于对反证法的逻辑的理解,就是一个重要的例子。

实际上反映出他对【在假定P下推出Q】和【推出Q】的区别,即【证明P→Q】和【证明Q】的区别,竟然分别不出来,竟然混为一谈

严重的是他认为【本人玩儿反证法玩儿了那么多年,居然最后还不懂!】其实是他真没弄懂反证法的逻辑。

沈卫国先生说【薛先生自己说的:“即康托尔定理并不是直接【从假设实数可数,推出实数不可数】C→乛C,而证明了乛C【实数不可数】的。而是用反证法由C→(B∧乛B)【从假设实数可数,推出矛盾】,证明了乛C【实数不可数】。”

你敢说你自己没有从假设“实数可数”,得到最终结果“实数不可数”?

当然我敢说,"实数不可数"的结论不是在"实数可数"的假定下得到的。也就是说,反证法所证明的结论,并不是在反证法的假定下得到的结论。而且由于反证法的假定推出了矛盾,从而推翻了反证法的假定,而得出了结论。因而这个结论是直接为真的结论,而不是在反证法假定下为真的结论。也就是说在逻辑上,反证法是 Σ,C⺊(B∧乛B),从而Σ⺊乛C 。并不是直接由 Σ,C⺊乛C,因为由此得出的是 Σ⺊C→乛C,而不是Σ⺊乛C。即推出的是C→乛C,而不是乛C。

我是希望沈卫国先生把这个道理,化点时间弄清楚,这不是省略表述的问题,而是严格的逻辑问题。就是要严格区分命题Q同蕴涵命题P→Q的区别。也就是要认清,反证法并不是在反证法的假定下,推出结论。而是在推翻了反证法的假定后,得出要证明的结论。

玩儿反证法玩儿了那么多年,居然最后还不懂!这个教训确实值得反省和深思!

 

二,关于认为反证法具有【不完备性】和【局限性问题】的错误。主要是逻辑的错误。

沈先生认为反证法是由C推出乛C,而没有从乛C推出乛C从而认为反证法有所谓【局限性】。实际上反证法是由C→(B∧乛B),直接推出乛C。根本不需要再由乛C推出乛C,所以根本不存在【局限性】的问题。

当然如果真由C推出乛C,也可用反证法來证。此时也不存在【局限性】的问题。

沈先生针对我说的这句话〖如果我们确实由【假定实数可数】证明了【实数不可数】,在假定【实数不可数】的条件下,当然不能用原证明的方法來证明【实数不可数】,但这只是说用此法【没有证明实数不可数】,并不是说用其它方法就【不能证明实数数不可数】。〗

沈卫国先生质问说【我什么时候说用其他方法就“不能证明实数不可数”了。

那就请问【由“证明了实数不可数”,又可以推出“没有即不可以证明实数不可数”。】这句话又是谁说的。话中的【没有】当然指的是用此法【没有证明实数不可数,话中的【不可以证明实数不可数】,指的当然是用任何方法都【不能证明实数数不可数】。你用【】这个词把它们等同起来,还要问【我什么时侯说】?我明确告你,你在《0630》中说康托尔的反证法是【悖论】时说的。

关于这点我在上文中己经说得相当清楚。〖但是由【实数不可数】的假定,只能推出,用原來的方法(即用原來由【实数可数】推出【实数不可数】的方法)推不出【实数不可数】。亦即可得出的只是"由此法没有证明实数不可数",而并没有得出沈先生所说的【“不可以证明实数不可数”】的结论。可见沈先生在这里犯了偷换概念的错误。因为“可以证明实数不可数”,同“不可以证明实数不可数”是矛盾的,但同"由此法没有证明实数不可数"并无任何矛盾。

沈卫国先生错误地认为反证法是由反证法的假定推出结论的,C→乛C。然后说这是由C推出乛C,没有由乛C推出乛C。接着把【没有】偷换成【不可以】,认为他证明了不可以由乛C推出乛C,从而得出矛盾。说反证法【不完备】,【有局限性】,他的这种偷换概念的推论显然是错误的。

我在前文中已经指出:〖实际上由假定【实数不可数】就已经推出了【实数不可数】。这就是乛C→乛C。也就是说如果推出了C→乛C,因为又有乛C→乛C,所以(C∨乛C)→乛C。而我们知C∨乛C恒真,因而可推出乛C为真。这里的反证法并沒有什么【不完备性】和【局限性问题】。〗

沈先生缺乏最基本的逻辑常识,竟然说【薛先生也真够逗的,我的具体分析你提也不提,就说乛C→乛C,你这叫“推理”?我看你是“不讲理”。......开玩笑!这叫命题重复,同义反复。毫无意义的。

沈先生竟然反对A→A这样的永真命题來了。希望沈先生去学学最简单的数理逻辑,在逻辑学中有一类最筒单的公式,它是永真的,专业上叫重言式。如A→A,A∧B→A,A→A∨B,... 等。乛C→乛C就是重言式,当然可以在推理中使用。怎么能反对这样的推理,还认为它是【同义反复,毫无意义。】我劝沈先生,还是化点时间补一点最基本的逻辑知识吧!

 

三,关于沈先生的七个错误。

我在《0646》中批评了沈卫国先生的七个错误。他的回复都没有集中我批评的要害。

1,错误地认为不可数的定义是康托尔证明的【错误的根本原因】。

沈先生对此说不出任何反对的理由,因为康托尔的证明并不是直接用不可数的定义去证明实数不可数的。所以这个错误是明显的。

 

2,沈先生认为【在此我们必须强调一个事实,就是在任何多进制下,其特定位数所能表达的数与这个特定的位数之间是不能一一对应的。

沈先生的错误在于认为【以上“事实”当然很好“证明”,甚至根本就无需证明,因它就是多进制之所以被构造的目的。因此也可以看成是一个公理性的“事实”。

这当然就是需要证明的命题。在位数无穷时,这就是康托尔定理要证明的结论。把它㸔作是公理,甚至在证明康托尔定理时还要利用这个亊实。显然是严重的逻辑混乱。沈先生无法辩驳,却拿下面这段话來反驳。

沈先生在这次反驳中问道【实数不可数的定义是什么?不是“不能与自然数一一对应”?如果它是“不能与每位多值的位数一一对应”的话,按数学的严格性,在实数不可数的定义中是不是必须如此地写?

这个提问同上述把要证明的命题说成是公理的错误毫无关系。只说明是沈先生的对康托尔定理证明的误读。康托尔的证明就没有用【不能与每位多值的位数一一对应”】来证明实数不可数。所以说沈先生的这个提问毫无意义。在康托定理中用到假定实数集合可数,从而实数集合同自然数一一对应。用到无穷小数的位数同自然数一一对应。从而以n为编号的实数αn存在有笫n位的小数αnn。构造的无穷小数b有第n位小数bn。沈先生你是否连「以n为编号的实数αn存在有笫n位的小数αnn。构造的无穷小数b有第n位小数bn。」这样的简单亊实也反对吗!

 

,沈先生错误地认为集合的不可数不可能得到证明,这是对人类推理能力的严重低估。

沈先生说【你薛先生给我说一说。光喊口号无用的。连可数种对应方式下的结论都无法穷尽,都无法在有限步中完成,你怎么居然可以在有限步中证明出来可数无穷之外还有无穷的?

沈先生的这句话说明他对人类的逻辑推理的能力太低估了。请您看一看学一学康托尔的幂集定理的证明。这个定理就是用有限步的证明,证明了集合的幂集的基数大于原集合的基数。可数无穷集合的幂集就是不可数无穷的。这个定理可以用有限步的推理得到严格的证明。【可以在有限步中证明出来可数无穷之外还有无穷的】。这是亊实,不是【空喊口号】。

 

4,沈先生关于位数与多态自然数一一对应的奇谈怪论

李先生上次说【多进制下的位数,虽然其可以用自然数去标定,但其每一位都不是单态的,因此位数,当其不仅仅是单态的自然数时,也就是不是每位的状态被额外地规定死不能再变更时,它绝对不是一般意义的自然数。】在这里是沈先生故意把水搅混,位数集同自然数集一一对应。是每个位同每个自然数的对应。每个位可以取其值,是多态的,这同自然数没有任何关系,同每个自然数对应的是每个位,位的态可以有多态,但每个位只有一个,所以自然数不会因同多态的位集对应而变成多态自然数,说同位数对应的自然数【它绝对不是一般意义的自然数】,是绝对错误的。同位数对应的自然数就是普通意义的自然数。

而这次《0649》又说【您薛先生既然说与位数对应,就是与自然数对应。那么,就应该像个与自然数对应的样子,好么。与自然数对应了,自然数是不是每个单值的?如此,您说与位数对应一样,那么,每位是不是也应该是单值的?换言之,每位是不是不允许再改变?如果不能改变,对角线法的逐位求异还能进行下去吗?

在这里沈先生陷入严重的逻辑混乱,自然数是同位数一一对应,自然数是单值的1就是1,2就是2,同样,位数也是单独的,第1位小数就是第1位小数,第2位小数就是第2位小数。【每位是不是也应该是单值的?换言之,每位是不是不允许再改变?】每个位的位数只有唯一的一个,不会变化。这里讲的一一对应是自然数同位数的对应。各位的值变化不影响位数的变化。每个编号为n的实数αn,都有它an的第n位小数ann,这同它的值等于什么沒有关系。an的第n位小数是ann,这个位数是唯一确定的。一一对应说的正是它的位数是唯一确定的。因而【对角线的逐位求异】完全可以顺利进行。

 

5,荒谬的悖论说

沈先生认为【由反证法推出“可以证明实数不可数”;但又由“证明了实数不可数”,又可以推出“没有即不可以证明实数不可数”。】从而他认为【我们实际可以得到一个悖论。

我上次批评说〖由【实数不可数】的假定,只能推出,用原來的方法(即用原來由【实数可数】推出【实数不可数】的方法)推不出【实数不可数】。亦即可得出的只是"由此法没有证明实数不可数",而并没有得出沈先生所说的【不可以证明实数不可数”】的结论。可见沈先生在这里犯了偷换概念的错误。〗

沈先生提不出任何反驳的理由。却说道【...我从来说的就是“此法没有证明实数不可数”,从来也没有就此就得到“不可以证明实数不可数”。】

我前面已经说过,那就请问【由“证明了实数不可数”,又可以推出“没有即不可以证明实数不可数”。】这句话又是谁说的。话中的【没有】当然指的是用此法【没有证明实数不可数】,你用【】这个词把它同【不可以证明实数不可数】等同起来,这不全是你说的吗?这你怎能否认得了。

 

6,由对定理证明的歪曲和误读所产生的错误视角

沈先生说【从另一个角度,也可以看出实数不可数并没有被康托对角线法证明。】什么视角呢?就是有人以为康托尔的证明是根据可数集合,发现了一个个不在其中的元素,就证明此集合不可数了。这当然是对康托尔证明的误读。我批评的是由沈先生的误读所带來的错误视角。沈先生对此批评提不出任何意见来,却说【您不是故意歪曲我的论点?还是您逻辑水平太差?谁说“可以得到全部实数”了?我明明说的是“没有证明一定构不成全部实数”,二者的区别您分不清?】沈先生的逻辑也太成问题了,沈先生强调说【一定构不成全部实数】没有被证明,不就是想说明【可以得到全部实数】吗?

 

7,这里的肯定的命题与否定的命题之间的界限是清晰的,一点也下模糊。

沈先生对我的批评提不出任何反对意见。却说【那好,您既然这么说,就请您秉承数学的严密性要求,按与位数一一对应来定义可数与不可数,好么?您别说什么它就是与自然数一一对应。既然二者一样(您一口咬定),您以后以及教科书中以后就按“位数”写,好不?您敢不敢这么改?您如果没有胆量这么改,就请您不必再多说什么了。

我当然敢,而且比你的要求更高。不是改,我可以证明一个如下的定理。

定理,设A是任意可数无穷集,则凡是能同A一一对应的集合都是可数无穷集。凡是不能同A一一对应的无穷隼合,都不是可数穷穷集合。

根据这个定理,由于无穷小数的位数集是可数无穷的。所以就可以用同无穷小数的位数集是否可以一一对应,来判定任何无穷集是否可数。这是千真万确的亊,当然敢说。

不过我要在此说清,康托尔的证明并不是用此来证明【实数不可数】的。这同康托尔定理的证明毫无关系。用此来质疑康托尔定理的证明,完全是沈先生对康托尔证明的误读。

沈先生在文中最后说【陶哲轩已经明确讲了:反证法并不是一个十分靠得住的证明方法,实际上就是它有可能在证明中引入隐蔽的假设。哪像薛先生这样,只要写出反证法的形式,就一定对,就不会把反证法用错了?

这又是沈先生的错误理解,陶先生在这里強调的是要正确地使用反证法。并不是在否定反证法,说反证法是靠不住的证明方法。而是说要正确地使用反证法。任何靠得住的证明方法,都要按它的规定正确使用。

沈先生说什么【只要写出反证法的形式,就一定对,就不会把反证法用错了。】这并不如沈先生所说,【像薛先生】的观点。薛先生认为正确【写出反证法的形式】是正确使用反证法的必要条件。连【写出反证法的形式】都写不对,当然就不可能正确使用反证法,甚至都不可能正确理解反证法是什么。

 

总而言之。沈先生对我在《0646》中批评的七个错误。提不出任何反对意见。都是拿一些其他问题来干扰,而这些问题也都错误连篇,不堪一击。

 

参考文献

Zmn-0649 沈卫国: 评薛问天先生:“沈卫国先生的错误质疑來自对康托尔定理证明的理解错误。评《0630》”一文的评论

Zmn-0646 薛问天: 沈卫国先生的错误质疑來自对康托尔定理证明的理解错误。评《0630》

 

 



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