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Zmn-0688 反对伊战:回复林益先生的Zmn-0686

已有 188 次阅读 2021-10-1 10:19 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0688 反对伊战:回复林益先生的Zmn-0686

【编者按。下面是反对伊战先生的评论。是对林益先生的《Zmn-0686》文章的回复。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

回复林益先生的Zmn-0686

 

反对伊战

 

你看过康托的原著,但不了解现代数学中对序数、基数的定义 ,就好像一个人会古文,但不会现代文,与现代人交谈时会说你这个说法与古文不符,这样的交谈是有麻烦的。

我在 Zmn-0511 中直观地介绍了序数、基数的含义,从那一段介绍看,基数是序数的说法是没有问题的。

那一段文字如下。

【我先聊一聊序数和基数,使大家对序数和基数有一些直观的概念。

设想桌子上有一些苹果,有一个人叫张三,想知道如果他一天吃一个苹果,能吃多少天。他于是从左向右数了起来:1,2,3,4,5。这样,他得到了序数5。如果他换一种次序(比如从右向左或别的次序)数,仍然会得到5,当然,这是生活常识。由于不管按什么次序,只要一个不漏、无重复地数,都得到5,我们就得到了基数5的概念。我们说有5个苹果。对于有限个物体,不管按什么次序数,结果都一样,数学上对此是有证明的。对于自然数,序数、基数总是相等的,所以在中、小学我们不区分序数、基数的概念,统称为自然数。现在,假想我们数完了全体自然数,继续往下数:ω (ω 表omega),ω+1,ω+2…这时候,数无穷集得到的结果就与数的次序有关。比如,数全体自然数之集,我们先按1,2,3…次序数,数完全体非零自然数,最后数0,我们得到序数ω。如果,我们先按1,3,5…次序数,数完全体正奇数,然后按2,4,6…的序数,数完全体正偶数(对2我们数ω, 对4我们数ω+1,等等),最后数0,我们得到序数ω+ω,按别的次序数,我们还会得到别的序数。那么,全体自然数之集,元素个数是对少呢? ω? ω+ω? 或别的序数?康托规定元素个数是各种数法中得到的最小序数!这个最小序数被称为集合的基数。对于自然数之集,这个最小序数为ω,所以自然数之集的基数为ω。】

 

我用ω表示 omega 。可以证明如果a是一个可数序数,那么序数ω的 a 次方也是一个可数序数。所以,ω的 ω 次方和 ω的(ω的 ω 次方)次方,ω的[ω的(ω的 ω 次方)次方] 次方 等等都是可数序数。这里,不要混淆 基数阿列夫0的 阿列夫0 次方与序数 ω的 ω 次方。基数阿列夫0的 阿列夫0 次方是基数的指数运算,序数 ω的 ω 次方是序数的指数运算,这是一个容易搞混的地方。

[0,1]区间实数的基数(即2的 阿里夫0 次方)是阿里夫1,还是阿里夫2…?这个问题是连续统假设问题。连续统假设说2的 阿里夫0 次方等于阿里夫1。连续统假设问题是Hilbert 1900年提出的23个问题中的第一个问题。在1960年代,Cohen 证明了连续统假设是独立于ZFC公理的,即用ZFC公理既不能证明连续统假设为真,也不能证明连续统假设为假。

 

 



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