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Zmn-0691 薛问天：认识推理要㸔全过程，评黄汝广《0640》

已有 1002 次阅读 2021-10-3 10:23 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0691 薛问天：认识推理要㸔全过程，评黄汝广《0640》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对黄汝广先生《Zmn-0640》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

认识推理要㸔全过程，

评黄汝广《0640》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，文清慧老师转来了黄汝广先生的询问。他说【我一直在等薛先生关于《Zmn-0640》的反驳，可是始终没有等到。所以，想请文老师代为询问一下：薛先生是不是默认了，我的例子的正确性：“令P=“所有人都是要死的，并且猫不是人”，Q=“猫是要死的”，显然P与Q均为真，因此，根据现代逻辑的真值表，“P→Q”为真，也即“若所有人都是要死的，并且猫不是人，则猫是要死的”为真。但是，根据三段论推理的规则，我们知道这不是一个有效的三段论推理，也即由P根本无法推出Q！这个例子已经足够表明，这里的实质蕴涵连接词“→”根本不具有“推出”这一含义！】

黄汝广先生由此例得出的结论【实质蕴涵连接词“→”根本不具有“推出”这一含义！】明显不对，原因很简单。黄先生沒有说全部推理，只说其中部分，当然不合适。认识推理要㸔全过程。

黄先生应该认识到，在你举的例子，逻辑上是当Q为真时才有P→Q为真。你只陈述了P→Q，而没有陈述Q为真这个条件。也就是说推理的全过程是 Q⺊P→Q。或 Q，P⺊Q。你只说了“若所有人都是要死的，并且猫不是人，则猫是要死的”。而沒有说这个推理是在你在已推出"猫是要死的"为真的条件推出的。如果你说全过程，这么说:

因为已推出"猫是要死的" ，所以加上条件“若所有人都是要死的，并且猫不是人"，仍然可推出"猫是要死的"。

说了推理的全过程，你就不会认为这是错误的或奇怪的推理了。这就如同你吃了饭最后吃了水果吃饱了。你必须说全，是吃了饭和水果最后吃饱了，而不能说是只吃了水果就吃饱了。推理也必须说全，不能只说最后一步。

二，4个质问。

我在《0629》中说〖在反证法中是不允许有隐含假定的。不过黄汝广先生质疑的Baker实数不可数证明的例子，指责的不对。详细查阅证明的细節可以看出，证明中由【S是可数的】假定，推出【B可使极限c不属于S】的整个推理证明中，并没有用到S≠[0,1]。而是由【B可使极限c不属于S】可推出S≠[0,1]，这同S=[0,1]发生了矛盾，从而反证法证明了【S不可数】。这里的推理中并沒有用隐含假定。

黄汝广先生《0640》中提出了4个质问。

1，他问:,【我们看Baker的证明，先“如果S集可数，那么......”，最后又“假如A和B约定好的S集就是整个实数区间[0,1]，那么......”，这里的“如果”与“假如”都是假设吧？换句话说，在Baker的证明中，有两个假设！既然矛盾是由于两个假设导致的，那么逻辑上否定任何一个都是合理的，为什么Baker一定要否定前一个呢？】

这是两个假定，假定【S集就是整个实数区间[0,1]】，这是定理的基本假定，就是说定理是在这个假定下证明的。它不是反证法的隐含假定。反证法的假定是【S集可数】，由此反证法假定推出 S≠[0,1]，同【S集就是整个实数区间[0,1]】发生矛盾。从而证明了，如果【S集就是整个实数区间[0,1]】时，则【S集不可数】，即证明了【实数区间[0,1]不可数】。也就是说，假定【S集就是整个实数区间[0,1]】并不是隐含的反证法假定，而是定理的基本假定。

2，黄汝广先生还质问说: 【薛先生说：“详细查阅证明的细節可以看出，证明中由【S是可数的】假定推出【B可使极限c不属于S】的整个推理证明中，并没有用到S≠[0,1]。而是由【B可使极限c不属于S】可推出S≠[0,1]，这同S=[0,1]发生了矛盾，从而反证法证明了【S不可数】。这里的推理中并沒有用隐含假定。”薛先生的逻辑感实在让人堪忧，由【B可使极限c不属于S】可推出S≠[0,1]，换句话说，也即S≠[0,1]是【B可使极限c不属于S】的必要条件，但是【S是可数的】并不能确保S≠[0,1]，因此，【B使极限c不属于S】的操作一定满足必要条件S≠[0,1]；如果必要条件S≠[0,1]没有满足（没有用到），B就不可能使极限c不属于S，否则的话，S≠[0,1]就绝对不会是必要条件，也就绝对不可能“由【B可使极限c不属于S】可推出S≠[0,1]”。】

为了说清这个问题，即反证法中的推理。我举个简单的例子，来说明黄先生质疑的不当所在。

假定己知对任何自然数n，n+1＞n，而且显然知对任何自然数n，m，如果n≥m，则n+1≥m。

我们用反证法来证明5>2。

假定2≥5，由此反证法的假定可推出2+1≥5，即3≥5。再由3≥5可推出3+1≥5，即4≥5。但我们知这同5=4+1＞4产生矛盾，即4≥5同5＞4的矛盾。从而推翻了反证法的假定2≥5，证明了5＞2。

对于这个反证法的证明，黄先生应该认同吧。但是仿照黄先生的质疑。对此证明就会产生了如下的错误质疑。

由【3≥5】可推出4≥5，换句话说，也即4≥5是【3≥5】的必要条件，但是【2≥5】并不能确保4≥5，因此，推出【3≥5】的推理一定满足必要条件4≥5；如果必要条件4≥5没有满足（没有用到），就不可能使3≥5，否则的话，4≥5就绝对不会是必要条件，也就绝对不可能由【3≥5】可推出4≥5。

也就是说，黄先生认为此证明中，由于4≥5是3≥5的必要条件，所以由2≥5推出3≥5时，必须用到4≥5这个假定。显然这个质疑是错误的。因为由2≥5推出3≥5，只用到[对任何自然数n，m，如果n≥m，则n+1≥m。]这个原理，并没有以它的必要条件4≥5，作为推理操作的内容。也就是说，在推理中，所推命题的必要条件，不一定非要作为推出此命题的前提假定。

而且由于推出了3≥4，由它推出4≥5，同已知的5＞4发生矛盾，推翻了反证法的假定，从而使证明5＞2完成。

回到黄先生所举的例子，就是黄先生认为

由于S≠[0,1]是【B可使极限c不属于S】的必要条件，所以由【S是可数的】推出【B可使极限c不属于S】时，必须用到S≠[0,1]这个假定。显然这个质疑是错误的。因为由【S是可数的】推出【B可使极限c不属于S】，只用到极限的细节原理，并没有以它的必要条件S≠[0,1]，作为推理的内容。而且由于推出了【B可使极限c不属于S】，由它推出S≠[0,1]，同已知的【S集就是整个实数区间[0,1]】发生矛盾，推翻了反证法的假定【S是可数的】，从而使证明【S不可数】完成，即证明了【实数区间[0,1]不可数】。

3，黄先生的第3个质疑，是他说: 【另外，按照薛先生给出的推理链条：“S可数”→“B可使极限c不属于S”→“S≠[0,1]”，那么，“S可数”就是“S≠[0,1]”的充分条件：因此，只要“S可数”就一定“S≠[0,1]”，而不可能还有S=[0,1]的可能性！话句话说，假设“S可数”，在逻辑上就已经注定了，不可能S=[0,1]! 】

是的，沒有错。在反证法的假定【S可数】下即可推出【S≠[0,1]】，而这个论断同已知的【S集就是整个实数区间[0,1]】发生矛盾。说明反证法的假定【S可数】是错的，必须推翻，就证明了【S不可数】。这就是反证法的证明。

4，黄先生最后说: 【既然Baker整个证明的假设条件是“S可数”，而“S≠[0,1]”是逻辑上的必然结论，此时还硬要让“A和B约定好的S集就是整个实数区间[0,1]”，就必然要违反矛盾律，是逻辑上绝对不允许的事情。所以，Baker最后所谓的有趣的事情，恰恰表明他的逻辑学还不及格，他所谓的矛盾，不过是他最后的“假如”有意或无意地违反了矛盾律的结果!】

这就是说明黄先生对反证法缺乏正确的认识。在反证法中，由反证法的假定推出矛盾。这并不是在逻辑推理中发生逻辑错误，違反了逻辑上的矛盾律，【逻辑学还不及格】。而是为了维护逻辑上的矛盾律，由此矛盾推翻了反证法的假定，使定理得证。而这正是反证法的基本原理。看来黄先生需要对反证法进行逻辑分析，真正认识反证法的基本原理。

参考文献
Zmn-0640 黄汝广：答薛问天《Zmn-0629》
Zmn-0629 薛问天：正确认识命题逻辑，评黄汝广先生的《0607》

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