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Zmn-0691 薛问天:认识推理要㸔全过程,评黄汝广《0640》

已有 225 次阅读 2021-10-3 10:23 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0691 薛问天:认识推理要㸔全过程,评黄汝广《0640》

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对黄汝广先生《Zmn-0640》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

认识推理要㸔全过程,

评黄汝广《0640》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg一,文清慧老师转来了黄汝广先生的询问。他说【我一直在等薛先生关于《Zmn-0640》的反驳,可是始终没有等到。所以,想请文老师代为询问一下:薛先生是不是默认了,我的例子的正确性:“令P=“所有人都是要死的,并且猫不是人”,Q=“猫是要死的”,显然P与Q均为真,因此,根据现代逻辑的真值表,“P→Q”为真,也即“若所有人都是要死的,并且猫不是人,则猫是要死的”为真。但是,根据三段论推理的规则,我们知道这不是一个有效的三段论推理,也即由P根本无法推出Q!这个例子已经足够表明,这里的实质蕴涵连接词“→”根本不具有“推出”这一含义!

 

黄汝广先生由此例得出的结论【实质蕴涵连接词“→”根本不具有“推出”这一含义!】明显不对,原因很简单。黄先生沒有说全部推理,只说其中部分,当然不合适。认识推理要㸔全过程。

黄先生应该认识到,在你举的例子,逻辑上是当Q为真时才有P→Q为真。你只陈述了P→Q,而没有陈述Q为真这个条件。也就是说推理的全过程是 Q⺊P→Q。或 Q,P⺊Q。你只说了“若所有人都是要死的,并且猫不是人,则猫是要死的”。而沒有说这个推理是在你在已推出"猫是要死的"为真的条件推出的。如果你说全过程,这么说: 

因为已推出"猫是要死的" ,所以加上条件“若所有人都是要死的,并且猫不是人",仍然可推出"猫是要死的"。

说了推理的全过程,你就不会认为这是错误的或奇怪的推理了。这就如同你吃了饭最后吃了水果吃饱了。你必须说全,是吃了饭和水果最后吃饱了,而不能说是只吃了水果就吃饱了。推理也必须说全,不能只说最后一步。

二,4个质问。

我在《0629》中说〖在反证法中是不允许有隐含假定的。不过黄汝广先生质疑的Baker实数不可数证明的例子,指责的不对。详细查阅证明的细節可以看出,证明中由【S是可数的】假定,推出【B可使极限c不属于S】的整个推理证明中,并没有用到S≠[0,1]。而是由【B可使极限c不属于S】可推出S≠[0,1],这同S=[0,1]发生了矛盾,从而反证法证明了【S不可数】。这里的推理中并沒有用隐含假定。

黄汝广先生《0640》中提出了4个质问。

1,他问:,【我们看Baker的证明,先“如果S集可数,那么......”,最后又“假如A和B约定好的S集就是整个实数区间[0,1],那么......”,这里的“如果”与“假如”都是假设吧?换句话说,在Baker的证明中,有两个假设!既然矛盾是由于两个假设导致的,那么逻辑上否定任何一个都是合理的,为什么Baker一定要否定前一个呢?

这是两个假定,假定【S集就是整个实数区间[0,1]】,这是定理的基本假定,就是说定理是在这个假定下证明的。它不是反证法的隐含假定。反证法的假定是【S集可数】, 由此反证法假定推出 S≠[0,1],同【S集就是整个实数区间[0,1]】发生矛盾。从而证明了,如果【S集就是整个实数区间[0,1]】时,则【S集不可数】,即证明了【实数区间[0,1]不可数】。也就是说,假定【S集就是整个实数区间[0,1]】并不是隐含的反证法假定,而是定理的基本假定。

2,黄汝广先生还质问说: 【薛先生说:“详细查阅证明的细節可以看出,证明中由【S是可数的】假定推出【B可使极限c不属于S】的整个推理证明中,并没有用到S≠[0,1]。而是由【B可使极限c不属于S】可推出S≠[0,1],这同S=[0,1]发生了矛盾,从而反证法证明了【S不可数】。这里的推理中并沒有用隐含假定。”薛先生的逻辑感实在让人堪忧,由【B可使极限c不属于S】可推出S≠[0,1],换句话说,也即S≠[0,1]是【B可使极限c不属于S】的必要条件,但是【S是可数的】并不能确保S≠[0,1],因此,【B使极限c不属于S】的操作一定满足必要条件S≠[0,1];如果必要条件S≠[0,1]没有满足(没有用到),B就不可能使极限c不属于S,否则的话,S≠[0,1]就绝对不会是必要条件,也就绝对不可能“由【B可使极限c不属于S】可推出S≠[0,1]”。

为了说清这个问题,即反证法中的推理。我举个简单的例子,来说明黄先生质疑的不当所在。

假定己知对任何自然数n,n+1>n,而且显然知对任何自然数n,m,如果n≥m,则n+1≥m。

我们用反证法来证明5>2。

假定2≥5,由此反证法的假定可推出2+1≥5,即3≥5。再由3≥5可推出3+1≥5,即4≥5。但我们知这同5=4+1>4产生矛盾,即4≥5同5>4的矛盾。从而推翻了反证法的假定2≥5,证明了5>2。

对于这个反证法的证明,黄先生应该认同吧。但是仿照黄先生的质疑。对此证明就会产生了如下的错误质疑。

由【3≥5】可推出4≥5,换句话说,也即4≥5是【3≥5】的必要条件,但是【2≥5】并不能确保4≥5,因此,推出【3≥5】的推理一定满足必要条件4≥5;如果必要条件4≥5没有满足(没有用到),就不可能使3≥5,否则的话,4≥5就绝对不会是必要条件,也就绝对不可能由【3≥5】可推出4≥5。

也就是说,黄先生认为此证明中,由于4≥5是3≥5的必要条件,所以由2≥5推出3≥5时,必须用到4≥5这个假定。显然这个质疑是错误的。因为由2≥5推出3≥5,只用到[对任何自然数n,m,如果n≥m,则n+1≥m。]这个原理,并没有以它的必要条件4≥5,作为推理操作的内容。也就是说,在推理中,所推命题的必要条件,不一定非要作为推出此命题的前提假定。

而且由于推出了3≥4,由它推出4≥5,同已知的5>4发生矛盾,推翻了反证法的假定,从而使证明5>2完成。

回到黄先生所举的例子,就是黄先生认为

由于S≠[0,1]是【B可使极限c不属于S】的必要条件,所以由【S是可数的】推出【B可使极限c不属于S】时,必须用到S≠[0,1]这个假定。显然这个质疑是错误的。因为由【S是可数的】推出【B可使极限c不属于S】,只用到极限的细节原理,并没有以它的必要条件S≠[0,1],作为推理的内容。而且由于推出了【B可使极限c不属于S】,由它推出S≠[0,1],同已知的【S集就是整个实数区间[0,1]】发生矛盾,推翻了反证法的假定【S是可数的】,从而使证明【S不可数】完成,即证明了【实数区间[0,1]不可数】。

3,黄先生的第3个质疑,是他说: 【另外,按照薛先生给出的推理链条:“S可数”→“B可使极限c不属于S”→“S≠[0,1]”,那么,“S可数”就是“S≠[0,1]”的充分条件:因此,只要“S可数”就一定“S≠[0,1]”,而不可能还有S=[0,1]的可能性!话句话说,假设“S可数”,在逻辑上就已经注定了,不可能S=[0,1]!

是的,沒有错。在反证法的假定【S可数】下即可推出【S≠[0,1]】,而这个论断同已知的【S集就是整个实数区间[0,1]】发生矛盾。说明反证法的假定【S可数】是错的,必须推翻,就证明了【S不可数】。这就是反证法的证明。

4,黄先生最后说: 【既然Baker整个证明的假设条件是“S可数”,而“S≠[0,1]”是逻辑上的必然结论,此时还硬要让“A和B约定好的S集就是整个实数区间[0,1]”,就必然要违反矛盾律,是逻辑上绝对不允许的事情。所以,Baker最后所谓的有趣的事情,恰恰表明他的逻辑学还不及格,他所谓的矛盾,不过是他最后的“假如”有意或无意地违反了矛盾律的结果!

这就是说明生对反证法缺乏正确的认识。在反证法中,由反证法的假定推出矛盾。这并不是在逻辑推理中发生逻辑错误,違反了逻辑上的矛盾律,【逻辑学还不及格】。而是为了维护逻辑上的矛盾律,由此矛盾推翻了反证法的假定,使定理得证。而这正是反证法的基本原理。看来黄先生需要对反证法进行逻辑分析,真正认识反证法的基本原理。

 

参考文献
Zmn-0640 黄汝广: 答薛问天《Zmn-0629》
Zmn-0629 薛问天: 正确认识命题逻辑,评黄汝广先生的《0607》





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