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Zmn-0695 反对伊战:回复林益先生的Zmn-0692

已有 225 次阅读 2021-10-6 20:46 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0695 反对伊战:回复林益先生的Zmn-0692

【编者按。下面是反对伊战先生的文章。是对林益先生的《Zmn- 0692》文章的回复。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

回复林益先生的Zmn-0692

 

反对伊战

 

我觉得林益先生看过康托的原著,但不了解现代数学中对序数、基数的定义 ,就好像一个人会古文,但不会现代文,与现代人交谈时会说你这个说法与古文不符,这样的交谈是有麻烦的。所以林益先生好找一本公理集合论的教科书看一下。否则现在这样,通过网上让别人大量地解释,来学公理集合论,很麻烦。

 

下面,我来回答林益先生的问题。

1、我说【假想我们数完了全体自然数】,这是便于我们理解序数、基数概念而采用的方法,你当然可以认为全体自然数不能被数完。顺便说一下,一个无穷过程是可以完成的。我在Zmn-0679中说【一个无穷过程完成了,是指这个无穷过程中的每一项都完成了。关于“小球从0等速直线运动到1”问题,我们可以换成阿基里斯追乌龟的问题来考虑。阿基里斯和乌龟在实数轴上。时刻为0时阿基里斯在0处,乌龟在0.9米处。阿基里斯以每秒1米的速度等速直线运动,乌龟以每秒0.1米的速度等速直线运动。时刻为0.9秒时,阿基里斯运动到0.9米处,而乌龟则运动到0.99米处,时刻为0.99秒时,阿基里斯运动到0.99米处,而乌龟则运动到0.999米处…这个过程一直继续下去,我们就得到了无穷序列0.9米,0.99米,0.999米…在时刻为1秒时,阿基里斯在1米处追上了乌龟,阿基里斯追乌龟的过程结束,无穷序列0.9米,0.99米,0.999米…完成。

 

2、关于【我用ω表示 omega】,我原文写的是【我用w表示 omega】,因为我不能打希腊字母 奥米伽,就用 w 代替。文博主 将 w 改为 ω。

 

3、 定理 如果a是一个可数序数,那么序数ω的 a 次方也是一个可数序数。

证明: 我们将ω的 a 次方记为 ω^a。如果有可数序数 c 满足ω^ c 为不可数序数,考虑集合B={x: x 小于等于 c, 且ω^x 为不可数序数}。因为c 属于B,所以B不是空集,所以B中有最小元,将这个最小元记为b。所以,ω^b为不可数序数,对于x<b有ω^x是可数序数。下面分2种情形讨论。

情形1  b是一个后继序数,即存在序数d 满足b=d+1。 则ω^b=ω^(d+1)=ω^d乘以ω。因为ω^d和ω都是可数序数,所以ω^d乘以ω是可数序数,即ω^b是可数序数,这与已知ω^b是不可数序数矛盾。

情形2   b是一个极限序数。则由定义,ω^b等于ω^x的并,这里x取遍小于b的序数。由于b是可数序数,小于b的序数只有可数个,而每一个ω^x都是可数集,所以ω^x的并也是可数集,所以ω^b是可数序数,这与已知ω^b是不可数序数矛盾。

在2种情形下都得到矛盾,所以可数序数 c 满足ω^ c 为不可数序数,这样的c不存在。所以原定理得证。

 

4、引用上面的定理,取a=ω, 得ω^ω可数序数取a=ω^ω, 得ω^ω^ω)是可数序数,等等。这里,不要混淆基数 阿列夫0 的阿列夫0 次方与序数 ω^ω。基数阿列夫0的 阿列夫0 次方是基数的指数运算,序数 ω^ω是序数的指数运算,这是一个容易搞混的地方。基数 阿列夫0 的阿列夫0 次方是不可数基数,序数 ω^ω是可数序数。至于大基数定理,这个定理说什么?大于等于阿列夫 1的序数都是可数序数,小于阿列夫 1的序数都是可数序数。

 

5、关于Hilbert 1900年提出的23个问题,见

https://zhidao.baidu.com/question/712382872782628765.html,【(1)康托的连续统基数问题。
  1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设。

可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,说明实数集基数是最小的不可数基数,即实数集基数等于阿列夫 1。而实数集基数就是[0,1]区间实数的基数,就是2的 阿里夫0 次方。





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