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Zmn-0757 Thebeater：我们为什么要研究实数不可列？评0751, 0738, 0736。

已有 865 次阅读 2021-12-4 14:31 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0757 Thebeater：我们为什么要研究实数不可列？评0751, 0738, 0736。

【编者按。下面是Thebeater先生的文章。是对《Zmn-0751, 0738, 0736》等文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

我们为什么要研究实数不可列？

评0751, 0738, 0736

Thebeater

最近引起我思考的主要是Zmn-736李鸿仪先生的文章，Zmn-738薛问天先生的评语和评论中的讨论。有一点我觉得薛先生点评的很到位，李先生提出了一个自己的概念：可列完，或者说可列（李）。李先生明确承认了这个概念与经典的结论“实数不可列”中的“可列”是不同的。（这一概念我在Zmn-741中已经解释过了。）

我觉得薛先生一语中的，指出了这个概念与经典概念不同。但可能还差临门一脚：为什么我们一定要研究经典的概念，而不能是可列（李）呢？换句话说：我们为什么要研究实数不可数？如果让我来总结的话，李先生提出的可列完或者可列（李）有三大问题：

1 概念不清2 独创不足3 用途不明

1，这一点薛先生已经指出了，可列（李）没办法用清楚的数学语言表述，只能用物理含义解释。而李先生对此不置可否。我认为，薛先生的指责是有道理的。关键在于，概念必须要清楚明白。既然这个概念是李先生提出来的，那么李先生就有责任把他解释清楚，毕竟您提出的概念您清楚，但是我们可是第一次听说啊。至少要做到随便拿一个对象，是不是可列（李）得有明确的答案。不能同一个对象，有人从您那里学完了觉得是可列（李的），有人却觉得不是，这就乱套了。而把一个数学概念描述清楚，最好的办法就是用数学语言解释。既然这叫数学啄木鸟，我们有理由相信大家都有最基本的数学能力吧，至少逻辑清晰，表达明确要做得到才行。比如我随便说几个对象：自然数全体的集合、整数全体构成的集合、所有偶数的集合、所有能表达成两个素数和的偶数的集合、所有素数的集合、所有素数对子的集合、所有孪生素数的集合（作为前者的子集）。那么李先生，这些可列（李）否？

2，这条的意思是，可列（李）与“有限集合”的概念有何不同？如果是相同的概念，那么可列（李）就完全不是独创的概念了，还跟已有的概念重复了，那有什么好值得研究的？李先生说了，可列（李）的集合一定有最后一个列出来的元素，这也是薛先生反复追问的。那么有第一个、有继续列出来的、有最后一个，这不就是有限集合吗？否则的话，李先生能找出来哪怕一个无限的可列（李）的集合吗？李先生在zmn-0736中对文兰院士的解读纯属望文生义，文兰院士的“列好了”，指的是给出了一个明确的自然数与某些实数的对应，只要我们知道这个对应是什么样的，那就意味着列好了，例如我们把每个自然数n对应到10^(-n)，这就是一串列好了的实数。我在zmn-741中提到的好集合也正是此意。

3其实是我最想说的。虽然列在最后，但是这才是最最重要的。康托引入不可列其实有非常明确的目的，用途很清楚，就是为了解决一个很具体的问题。这是我写下本文的主要目的。而李先生的可列（李），能解决什么问题呢？有什么用途吗？如果毫无用途，那凭什么我们要理解你这个概念呢？

好了，前面是引子，下面是我的主要内容。如果大家对实数不可数这一命题有或多或少的疑虑或者质疑，那我觉得我的一家之言也许能够厘清一些思路。

请允许我再次重复一下问题：我们为什么要研究实数不可数？

这我想提一下林益先生的一个观点，例如在Zmn-740中，他问能不能找到康托的具体论述。很多时候找这类原始文献很困难，但是读原始文献确实很有帮助。康托最早引入“实数不可数”这一问题是在他1874年的文章中，标题翻译过来是《关于所有实代数数的一个性质》。这篇文章是用德语写的，我不懂德语，但是网上有很多英语翻译，很容易搜索到，但是我不知道有没有中文的翻译。大家可以试着搜索一下，找到了可以分享一下，或者如果大家有兴趣我可以毛遂自荐写个翻译。

在这篇文章中，康托甚至没有特意讲可数或者不可数这类词。他的这篇文章有很明确的目的：证明存在非代数数的实数。我相信大家都清楚，代数数指的是能表达成多项式的根的数。我们现在知道了，pi还有e都不是代数数，或者叫超越数。但是在那个年代，人们都还没证明这些事情。所以有个问题困扰了很多人：究竟是不是所有实数都能表达成多项式的根呢？如果肯定的话，那么世界就太美好了，我们能很容易的表达每一个实数，只要找到对应的多项式就好了。当然了，人们还是猜测答案是否定的，但是都不知道怎么证明。

这时，康托另辟蹊径，他就想，要解决这个问题，只要证明代数数全体和实数全体，这两个集合不一样就好了。那我们来找一个性质，并且可以容易地判断，这个性质代数数全体具有，但是实数不具有，那么问题就解决了。这就是他这篇文章做的事情。从另一个角度来说，在这篇文章中，康托非常具体清晰地构造了一个实数，不是任何多项式的根，从而解决了问题。

而这个性质，就是我们现在说的可数。

所以说，实数不可数并不是凭空出现的，而是有着很明确的目的。康托并不是为了证明不可数而证明不可数，而是为了解决一个很具体的问题。哪怕你觉得这个概念说的不好，想换一个取而代之，也不能否定康托原本的概念的巨大价值。黑猫白猫，抓到老鼠就是好猫。

究竟是不是所有实数都能表达成多项式的根呢？只要你觉得这个问题有意义，只要你也想知道这个问题的答案，那去理解康托的这篇文章、康托定义的这个性质就有意义。

我觉得所有质疑康托实数不可数的人都应该好好看看康托的文章，看看他的本质。他的核心目的是寻找“关于所有实代数数的一个性质”，证明实数不具有这个性质。在文章中，康托甚至具体的构造了一个不是代数数的实数。如果你有心，甚至可以编写一个程序，来复现康托的构造，看看一百多年前康托造的这个数长什么样、每一位是几。只要你不能反驳康托的这个具体的构造，只要你不能找出康托论证“存在非代数数的实数”的问题，那就没有触及康托证明的核心。康托最最原始的证明甚至用的不是对角线法，而是实数上的闭区间套原理，或者说单调有界数列必有极限。如果你连康托的原始证明都没看过，却要大谈他有问题，那不就像是没读过《红楼梦》的红学家吗？

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