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Zmn-0782 薛问天：数学讨论要认真细致和逻辑严谨，评林益先生《0778》
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Zmn-0782 薛问天：数学讨论要认真细致和逻辑严谨，评林益先生《0778》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林 益先生的《0778》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
数学讨论要认真细致和逻辑严谨，
评林益先生《0778》，
薛问天
数学讨论要认真细致和逻辑严谨.
一，为什么说【可列】即【可列完】
如果在你的【可列完】中的【可列】是定义为「与自然数集能够构成一一对应的集合称为【可列】集」，那么【可列完】的意思就是与自然数集确实构成一一对应。即然是能构成一一对应，当然这个构成是可以完成的。如果不能完成构成，还怎么说它能构成。而且在数学上这个【能构成一一对应】指的是集合同自然数集合间存在一个双射，集合中的全部元素，无重复无遗漏地同全体自然数一一对应。因而【可列完】根本不需要重新定义。只要集合是【可列】的，自然【可列完】。因为构成一一对应，就是存在一个双射，存在当然是完成的，哪里有不完成的存在。此双射把集合中的元素无重复无遗漏地与自然数构成了一一对应。
你不这样解释，你如何解释【可列】是【完】的，你给出个【可列完】的定义看㸔，第一看你在定义中是否改变了【可列】的定义。第二看你是否能找出一例，说明存在有集合是【可列】的，但不是【可列完】的。
二，一一对应的定义。
我上次已经批评了林益先生认为一一对应的定义中只有【一一对应法则f】，【并没有“无重复无遗漏的映射”的说法】。指出〖林益先生竟然不知道他所说的定义中的f 必须是是双射，即滿足单射和满射两个条件的映射。〗
这次林益先生虽然承认了f是双射，说【一一对应的法则当然是双射】，但仍然坚持他的错误观点，认为一一对应的定义中【并没有“无重复无遗漏的映射”的说法】。林益先生竟然不知道双射就是无重复无遗漏的映射。
又奇怪地提出另一问题【不知薛问天老师认为第一个对应的元素和最后一个对应的元素是什么？】
一一对应只要求两个集合A和B间能构成一一对应，即′存在一个双射，要求A中每个元素都有B中的唯一元素与其对应，而且反之亦然，並不要求有第一个对应元素和最后一个对应元素。例如你承认的(0,1)和(0,2)的一一对应，就可以沒有第一个对应元素和最后一个对应元素。
另外林益先奇怪地问【薛问天老师认为【集合可数】，即集合同自然数集 N 的一一对应，就是集合的全体元素可以排成一个序列，而且全体元素属于此序列和被序列列完。 就请薛问天老师给出自然数集 N 的最后一个自然数吧？】
自然数集N没有最后一个自然数。所以可列集合中也没有任何元素对应的是最后一个自然数。可列集合的所有元素，都有自然数与其对应。是集合的全部元素，无一遗漏。这很正常，林益先生为何为此发问。
三、 关于无穷集的一一对应。
林益先生对一一对应定义的理解显然是存在问题的。集合A和B一一对应的定义要求存在一个双射。所以只要证明A和B间存在一个双射，就证明了A和B一一对应。并不要求你(人类)去实施什么【一一对应步骤】。而且林益要求的是一个元素的对应算一次步骤，这样的要求，只有有穷集的一一对应才可实现。无穷集就无法实现一一对应，因为你(人类)不可能实施无穷个步骤。这种理解是错误的，一一对应的定义沒有这样的要求。
例如自然数集N和偶数集M的元素都是自然数，自然数是有穷数，但个数无穷。即N和M元素的个数(基数)是无穷的。按林益的要求一一对应的步骤就有无穷，不可能由人来实施和实现。所以这样的要求是错误的。
林益先生问【显然薛问天老师承认[0,1]不能一个元素一个元素的列出来， 只能用“任何x∈ [0,1]” ， 有什么理由说明可列完呢？】说明林益先生对一一对应定义的理解有误，一一对应的定义并沒有要求把对应的元素【一个元素一个元素的列出来】和【列完】。林益先生，在一一对应的定义中有你说的【列出来】和【列完】的数学定义吗？你具体说说看，你说的【列出来】和【列完】的具体含义是什么？
四，林益先生不再说我语文水平差了，承认数学中用的【...】是数学符号，不是语文中的标点符号了。我还查过，语文中的省略号是6个点【......】，要占用两个汉字的位置，也有明确严格的规定。
林益先生说【我确实不知【⋯】的数学含义薛问天老师是如何解释的，根据教材或数学文献解释的，请薛问天老师推荐一下，你的解释还没有资格代表【⋯】的数学含义。】
【...】不是数学概念，它只是一个数学符号，用来表示数学概念，因而符号的含义是由它所表示的数学概念的含义来决定的。它本身没有定义。而是由它表示的概念的具体情况而定。例如我们用a1,a2,a3,...,an,..来表:示无穷序列。那么这一切都是由无穷序列的概念而定的。无穷序列有无穷个项，这个表示中前三个点表示的是从a4到an-1这有穷个项，后三个点则表示an以后的无穷个项。这是由无穷序列有确定的无穷个项的定义所决定的。对于无穷小数0.a1a2a3...an...，则是由无穷小数有无穷个位决定的，前三个点表示的是a3后an前的有穷个位的值，而后三个点表示an后的无穷个位的值。
所以【...】不需要定义，跟据上下文知这是无穷序列，或是一个无穷小数，就明确地知道了【...】的具体含义。
我认为所有的教材都是这么讲的，如果设有具体讲，那可能认为这太简单了，不讲自明，因为无穷序列和无穷小数的概念己定义清楚了，它的符号表示也是很自然的事。
另外我还想提醒林益先生。在数学中对概念的定义要求非常严格，但对表示的符号则比较灵活，由文章的作者解释清楚就行。并不要求完全统一。所以经常会发现同一数学在不同的文章中，符号系统常常不同。这一点我记得曾告诉过林益先生。例如a,b表示常量，x,y表示变量，但并不是严格如此规定。完全允许作者在某些情况下用x,y表示常量，用a,b表示变量。只要作者写清或上下文清楚就行。数学在这方面有较大的灵活性。不能过于死板。
对于我提出的这个论断〖人的感观是有限制的。无穷集合的元素不可能同时全部呈现在你的面前。但是我们可以通过理性思维承认它的存在。 只要断定对【任何n】，这个π的第n位小数是唯一确定的。我们就承认π这个无穷小数的【所有n】位都有确定的值。〗
林益先生问【薛问天老师能认为有限的结论能推向无穷吗？有确定的无穷吗？无穷能完成吗？ 既然理论依据和事实依据是什么？请给出教材或数学文献依据。】
要知道〖断定对【任何n】，这个π的第n位小数是唯一确定的。〗这并不是【有限的结论】，因为无穷集N中断定【任意n】都成立，N中所有这无穷个自然数都成立。这是对无穷个元素的结论。当然有确定的无穷个自然数。这是对存在有的无穷个元素都成立的结论。这个关于涉及无穷元素的推理当然是完成的，通过逻辑推理得出了这个确定的结论。
关于讲π的无穷小数如何算它第n位的值，肯定能找到书谈这个。找书应该没问题，肯定能找到，只是不需要去找罢了。我知道如何求√2的笫n个小数值的方法。知道道理就行了。
五，上次我问林益先生〖既然你认为自然数集合的元素在不断变化，那我就要问林益先生， 你所指的使 2n>n成立的【任意自然数】是指的哪些自然数， 是变化前的旧自然数，还是也包括变化后的新自然数？〗
林益先生这次回答说【「任意自然数」 当然是自然数序列中的自然数，因为自然数序列中任意一个自然数都是确定不变的，可以任意确定， 2n>n当然都成立。】
这样回答不行吧，自然数集合就是自然数序列。【自然数集合的元素在不断变化，】为什么【自然数序列中任意一个自然数都是确定不变的】，问题是自然数序列还增加不增加。如果也是在不断增加。我的问题是〖你所指的使 2n>n成立的【任意自然数】是指的哪些自然数， 是序列增加变化前的旧自然数，还是也包括序列变化后的新自然数？〗
我上次说过〖自然数元素的+1 变化，这是自然数构造过程中发生的事。我们对自然数集合的引用都是对它构造完成后的引用。〗
林益先生问【自然数延伸法则“+1”能完成吗？你有什么理由说“在你引用自然数时，自然数集合早已在它定义时，已构造完成。 ”？请给出理论依据和“构造完成”的标志吧！】
我上次已经明确回答〖公理确认自然数集合的存在，标志自然数集合是集合，外延公理确认集合有确定不变的元素，标志所有的集合都是构造过程结束完成的集合。以公理为标志还嫌不够，你要什么标志。〗这就是我给出的理论依据。反过来我来问你，你能断定自然数的构造过程【不能完成】吗？你又有何根据？你能指出哪个自然数，尚未被构造出来吗？指不出，就说明所有的自然数都在自然数的集合之中。也就是说，你指不出未被构造的自然数，就说明你所引用的自然数，全部都是构造出的自然数。
六，理论联系实际。未讲任何实际问题，就不与评论了。
七，林益先生说【外延公理实际就是求并集】。对外延公理这样理解，显然不对。差得太远。
林益先生对序数ω和ω+1的质疑，是由于不了解序数的定义和序数的基本理论。他所说的什么极限，根本同序数没有任何关系，序数根本不用极限。把无前趋的序数称为极限序数，只是用了这个名词，这个【极限】名称，同分析中的中的极限没有任何联系。①②，序数理论并没有认为序数ω是自然数序列的极限。③④在数学分析中将无穷大极限称为以∞为极限，并未将∞认作数，分析中的极限分有穷极限和无穷大极限，这两种极限的具体定义是不同的，并沒有任何错误。而且这是数学分析的理论，同康托尔的序数理论沒有关系。⑤、康托并沒有用序数ω【替代不是数的∞】。康托尔的序数ω同分析中的∞是完全不同的概念。⑥林益先生应该澄清对【有限】概念的理解。在数学上是把【有穷集】同【有限集】㸔作同一个概念。因而【有穷(有限)集】的定义是相同的，【有穷(有限)集】定义为能同某自然数表示的集合一一对应的集合。因而ω<ω+1，并不表明ω是有限的。而且所有的超穷序数μ都满足μ<μ+1。康托尔把“ω”定义为超穷数完全符合其实际意义。序数可以表示所有良序集的序型。用超穷序数ω表示全体自然数集合的序型。这就是序数的实际意义。另外说其違反【逻辑法则“<”】，也毫无根据，因为"<"是序数的序关系，根本不是什么【逻辑法则】。
我希望林益先生应认真对待学术讨论。你要质疑序数，就要把你质疑的理由一项一项地具体陈述出来，不要在这里胡乱地提出一些并不相干的问题作为你质疑的理由和根据。例如，序数同分析中的极限根本无关，你在①②中提这些极限是什么用意。③④⑤中谈到无穷大极限∞，这是数学分析中的概念，怎么用此来质疑超穷序数ω。⑥中关于【有限集】的定义，以及你认为的【实际意义】和【逻辑法则】是什么，都沒有认真地讲清楚。用这些不清楚的概念来质疑序数，我认为在学木上是极不认真和不负责任的。要讲道理，说话要有根据。要说明白说清楚。
八，林益先生认为【集合的元素不断增加，不能完成，不能结束，这样才能构成无穷集合。 这符合唯物辩证法原理和逻辑规则。这有什么逻辑问题呢？ 】
无穷集合是数学概念。你对无穷集合的描述不符合集合论中对无穷集合的定义。【集合的元素不断增加，不能完成，不能结束，这样才能构成无穷集合。】 这是你个人的主观臆想。集合论中的无穷集合并不是你描述的这样。
林益先生说【请薛问天老师利用无穷公理和外延公理给出“元素完全确定了。 不能再增长了。 ”的完整证明。 并给出所有的集合都是构造过程结束完成的集 合的标志。】
其实这点我已讲过多次，首先集合论无穷公理确认无穷集合的存在，也就是说，无穷集合是集合。对于这点，沒有问题吧。
其次，外延公理确认任何集合都是由它的元素所决定的。由此显然可以推出，如果元素增加了，就不是同一集合了。增加前同增加后就不是同一集合了，所以同一集合的元素不能增加。
这就给出“元素完全确定了。 不能再增长了。 ”的完整证明。 林益先生，你对这个证明，有哪点质疑之处请指出来。
林益先生还问【薛问天老师能说「可以不断地通过+1 增长」 的「构造过程」 能够完成吗？】
我已说过多次，元素的不断增加，这是集合「构造过程」中的亊。我们所说的无穷集合是指它已构成确定的集合。当然指它的「构造过程」已经完全完成。集合中已经包括了它应该包括的全部元素。从而元素不再增加。集合论外延公理说所有集合的元素都是确定的，不变的，不再增加的。因而只要说是存的集合，这个集合的「构造过程」就已完成。所以说外延公理的推论就是集合的「构造过程」完成的标志。
认为无穷集合的「构造过程」可以完成，已经完成，这是现代实无穷观的核心内容。因而我们说，现代实无穷观是集合论的基础，也就是说持非现代实无穷观，认为无穷集合的「构造过程」不能完成的人不能研究现代集合论。将会寸步难行，倒处踫壁。接受不了这百年来的数学文明。永远落后于现代数学文明的百年之多。
林益先生最后问【...这些具体的「无穷对象」， 薛问天老师能给出这些概念的严格数学定义吗？】
当然了，任何数学概念都可以而且必须给出严格的数学定义。先定义有穷集合，再用有穷集合给出无穷集合的定义，即〖称非有穷集合的集合是无穷集合〗。再用无穷集合就可给出其它各种【无穷对象】的严格数学定义，例如〖把项的集合是无穷集合的序列称为无穷序列〗，〖把小数位是无穷集合的小数，称为无穷小数〗...。
参考文献
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
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